Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo: (u)\left\{\begin{array}{c}x+3 y+z=0 \\\\ 2 x+5 y-z=3 \\\ x-y+2 z=-1 \\\\ 2 x+9 y-2 z=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que se classifique e, quando possível, se resolva o sistema linear
A tarefa é: (i) classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e (ii) encontrar a(s) solução(ões) quando houver.
Não se faz nenhuma suposição adicional; a resolução será algébrica (eliminação de Gauss).]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (eliminação de Gauss) e conceitos necessários:
Representamos o sistema na forma de matriz aumentada \left[A\mid b\right] e aplicamos operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma forma escalonada que facilite a leitura das soluções.
Classificação via posto (rank): seja A a matriz dos coeficientes e \left[A\mid b\right] a matriz aumentada. Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=r e r=n (nº de incógnitas), o sistema é compatível determinado (uma solução). Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<n, é compatível indeterminado (infinitas soluções). Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]), o sistema é incompatível (sem solução).
Vou executar eliminação e acompanhar as operações passo a passo para manter tudo claro.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada inicial (pegando os coeficientes e termos independentes do enunciado):
A matriz dos coeficientes, na forma escalonada, tem 3 linhas não nulas; logo \operatorname{rank}(A)=3.
A matriz aumentada também tem 3 linhas não nulas (a última linha é nula), então \operatorname{rank}([A\mid b])=3.
Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=3 e o número de incógnitas é n=3, o sistema é compatível determinado (uma única solução).
A forma escalonada dá diretamente os valores das incógnitas (cada linha corresponde a uma variável isolada).
Passo 8
Leitura direta da matriz reduzida (cada linha é uma equação simples):
\begin{aligned} &\text{1ª linha: } & x &= 1,\\[4pt] &\text{2ª linha: } & y &= 0,\\[4pt] &\text{3ª linha: } & z &= -1. \end{aligned}ªªª
Para segurança, pode-se verificar substituindo \;x=1,\;y=0,\;z=-1\; nas equações originais (opcional), e todas ficam verdadeiras, confirmando a solução.]