Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(u)\left\{\begin{array}{c}x+3 y+z=0 \\\\ 2 x+5 y-z=3 \\\ x-y+2 z=-1 \\\\ 2 x+9 y-2 z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se classifique e, quando possível, se resolva o sistema linear
(u)\begin{cases} x+3y+z=0,\\[4pt] 2x+5y-z=3,\\[4pt] x-y+2z=-1,\\[4pt] 2x+9y-2z=4. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • São 4 equações e 3 incógnitas ( x,y,z).
  • A tarefa é: (i) classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e (ii) encontrar a(s) solução(ões) quando houver.
    Não se faz nenhuma suposição adicional; a resolução será algébrica (eliminação de Gauss).]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (eliminação de Gauss) e conceitos necessários:
  • Representamos o sistema na forma de matriz aumentada \left[A\mid b\right] e aplicamos operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma forma escalonada que facilite a leitura das soluções.
  • Classificação via posto (rank): seja A a matriz dos coeficientes e \left[A\mid b\right] a matriz aumentada. Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=r e r=n (nº de incógnitas), o sistema é compatível determinado (uma solução). Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<n, é compatível indeterminado (infinitas soluções). Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]), o sistema é incompatível (sem solução).
  • Vou executar eliminação e acompanhar as operações passo a passo para manter tudo claro.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial (pegando os coeficientes e termos independentes do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 5 & -1 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 9 & -2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação para zerar abaixo do pivô da primeira coluna (uso a primeira linha como pivô):
  • Faço R_2 \leftarrow R_2-2R_1.
  • Faço R_3 \leftarrow R_3-R_1.
  • Faço R_4 \leftarrow R_4-2R_1.
Calculemos cada nova linha:
  • R_2: (2,5,-1,3)-2(1,3,1,0)=(0,-1,-3,3).
  • R_3: (1,-1,2,-1)-(1,3,1,0)=(0,-4,1,-1).
  • R_4: (2,9,-2,4)-2(1,3,1,0)=(0,3,-4,4).
Matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 3\\[4pt] 0 & -4 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -4 & 4 \end{array}\right].]

Passo 5

Escalonamento na segunda coluna: uso R_2 como pivô. Primeiro simplifico R_2 multiplicando por -1 para ter pivô 1:
  • R_2 \leftarrow -R_2 = (0,1,3,-3).
Agora anulo os outros elementos na coluna 2 usando esse pivô:
  • R_1 \leftarrow R_1-3R_2.
  • R_3 \leftarrow R_3+4R_2.
  • R_4 \leftarrow R_4-3R_2.
Calculemos:
  • R_1: (1,3,1,0)-3(0,1,3,-3)=(1,0,1-9,0+9)=(1,0,-8,9).
  • R_3: (0,-4,1,-1)+4(0,1,3,-3)=(0,0,1+12,-1-12)=(0,0,13,-13).
  • R_4: (0,3,-4,4)-3(0,1,3,-3)=(0,0,-4-9,4+9)=(0,0,-13,13).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -8 & 9\\[4pt] 0 & 1 & 3 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 13 & -13\\[4pt] 0 & 0 & -13 & 13 \end{array}\right].]

Passo 6

Terceira coluna: uso R_3 como pivô. Divido R_3 por 13 para obter pivô 1:
  • R_3 \leftarrow \dfrac{1}{13}R_3 = (0,0,1,-1).
Agora anulo as entradas na coluna 3 nas outras linhas:
  • R_1 \leftarrow R_1+8R_3.
  • R_2 \leftarrow R_2-3R_3.
  • R_4 \leftarrow R_4+13R_3.
Calculemos:
  • R_1: (1,0,-8,9)+8(0,0,1,-1)=(1,0,0,9-8)=(1,0,0,1).
  • R_2: (0,1,3,-3)-3(0,0,1,-1)=(0,1,0,-3+3)=(0,1,0,0).
  • R_4: (0,0,-13,13)+13(0,0,1,-1)=(0,0,0,0).
A matriz escalonada final fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação do resultado e classificação:
  • A matriz dos coeficientes, na forma escalonada, tem 3 linhas não nulas; logo \operatorname{rank}(A)=3.
  • A matriz aumentada também tem 3 linhas não nulas (a última linha é nula), então \operatorname{rank}([A\mid b])=3.
  • Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=3 e o número de incógnitas é n=3, o sistema é compatível determinado (uma única solução).
  • A forma escalonada dá diretamente os valores das incógnitas (cada linha corresponde a uma variável isolada).

Passo 8

Leitura direta da matriz reduzida (cada linha é uma equação simples):
\begin{aligned} &\text{1ª linha: } & x &= 1,\\[4pt] &\text{2ª linha: } & y &= 0,\\[4pt] &\text{3ª linha: } & z &= -1. \end{aligned}ªªª
Para segurança, pode-se verificar substituindo \;x=1,\;y=0,\;z=-1\; nas equações originais (opcional), e todas ficam verdadeiras, confirmando a solução.]

Resposta

x=1
y=0
z=-1

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