Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(j)\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-3 y+z=0 \\\\ 4 x+y-z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede para classificar e, quando possível, resolver:
(j)\left\{\begin{array}{rcl} x+2y-z&=&2\\[4pt] 2x-3y+z&=&0\\[4pt] 4x+y-z&=&4 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três equações e as incógnitas são x, y e z.
  • É solicitado: (i) classificar o sistema (se é compatível ou incompatível; determinado ou indeterminado) e (ii) encontrar as soluções quando o sistema for compatível.]

Passo 2

Escolhi resolver usando eliminação (redução por operações elementares) — um jeito direto, mecânico e ótimo para provas. Primeiro represento o sistema pela matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right]
Explicando rápido: uma operação do tipo R_i\leftarrow R_i - kR_j significa subtrair k vezes a linha j da linha i; isso corrige as equações sem alterar o conjunto solução.]

Passo 3

Eliminar embaixo do pivô da primeira coluna. Uso R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-4R_1.
Calculemos cada operação:
R_2-2R_1:\quad [2,-3,1\mid0]-2[1,2,-1\mid2]=[0,-7,3\mid-4].
R_3-4R_1:\quad [4,1,-1\mid4]-4[1,2,-1\mid2]=[0,-7,3\mid-4].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -7 & 3 & -4\\[4pt] 0 & -7 & 3 & -4 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora subtraio R_3\leftarrow R_3-R_2 para ver se aparece uma linha nula:
R_3-R_2:\quad [0,-7,3\mid-4]-[0,-7,3\mid-4]=[0,0,0\mid0].
A matriz reduzida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -7 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação das linhas obtidas:
  • A terceira linha é 0x+0y+0z=0, ou seja, é uma equação trivial (dependência entre as primeiras duas equações).
  • O posto (rank) da matriz dos coeficientes é 2 (duas linhas não nulas) e o posto da matriz aumentada também é 2 (não apareceu uma linha do tipo 0= c com c\neq0). Como os postos são iguais e menores que o número de incógnitas ( 2<3), o sistema é compatível indeterminado: há infinitas soluções (um grau de liberdade).

Passo 6

Agora escrevo as duas equações não triviais que restaram (tiradas das duas primeiras linhas após eliminação):
\begin{cases} x+2y-z=2,\\[4pt] -7y+3z=-4. \end{cases}
Para parametrizar as soluções, escolho z como parâmetro livre. Seja \displaystyle z=t, com t\in\mathbb{R}.]

Passo 7

Resolvo a segunda equação para y. Parto de -7y+3z=-4 e substituo z=t:
-7y+3t=-4\quad\Rightarrow\quad -7y=-4-3t\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{4+3t}{7}.
Expliquei cada passo: isolei o termo com y, mudei de sinal dividindo por -7.

Passo 8

Agora uso a primeira equação x+2y-z=2 para achar x. Substituo y=\dfrac{4+3t}{7} e z=t:
x+2\cdot\frac{4+3t}{7}-t=2.
Simplifico passo a passo:
x+\frac{8+6t}{7}-t=2.
Coloco t sobre o mesmo denominador:
x+\frac{8+6t}{7}-\frac{7t}{7}=2.
Junto os termos com t:
x+\frac{8+(6t-7t)}{7}=2\quad\Rightarrow\quad x+\frac{8-t}{7}=2.
Isolo x:
x=2-\frac{8-t}{7}=\frac{14}{7}-\frac{8-t}{7}=\frac{14-8+t}{7}=\frac{6+t}{7}.

Passo 9

Portanto a família de soluções, parametrizada por t\in\mathbb{R}, é
\left\{\left(x,y,z\right)=\left(\frac{6+t}{7},\;\frac{4+3t}{7},\;t\right)\;\middle|\;t\in\mathbb{R}\right\}.
Também se pode escrever na forma de soma de uma solução particular e uma combinação linear:
\left(x,y,z\right)=\left(\frac{6}{7},\frac{4}{7},0\right)+t\left(\frac{1}{7},\frac{3}{7},1\right),\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Classificação: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
Solução: \displaystyle \left\{(x,y,z)=\left(\frac{6+t}{7},\frac{4+3t}{7},t\right)\mid t\in\mathbb{R}\right\}

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