Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo: (j)\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-3 y+z=0 \\\\ 4 x+y-z=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede para classificar e, quando possível, resolver:
É solicitado: (i) classificar o sistema (se é compatível ou incompatível; determinado ou indeterminado) e (ii) encontrar as soluções quando o sistema for compatível.]
Passo 2
Escolhi resolver usando eliminação (redução por operações elementares) — um jeito direto, mecânico e ótimo para provas. Primeiro represento o sistema pela matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente):
Explicando rápido: uma operação do tipo R_i\leftarrow R_i - kR_j significa subtrair k vezes a linha j da linha i; isso corrige as equações sem alterar o conjunto solução.]
Passo 3
Eliminar embaixo do pivô da primeira coluna. Uso R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-4R_1.
Calculemos cada operação:
A terceira linha é 0x+0y+0z=0, ou seja, é uma equação trivial (dependência entre as primeiras duas equações).
O posto (rank) da matriz dos coeficientes é 2 (duas linhas não nulas) e o posto da matriz aumentada também é 2 (não apareceu uma linha do tipo 0= c com c\neq0). Como os postos são iguais e menores que o número de incógnitas (2<3), o sistema é compatível indeterminado: há infinitas soluções (um grau de liberdade).
Passo 6
Agora escrevo as duas equações não triviais que restaram (tiradas das duas primeiras linhas após eliminação):