Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares: \left\{\begin{array}{rlrl}3 x-y & & =1 \\\\ 2 y-5 z & =-11 \\\ z-t & =-1 \\\ x+y+z+t & =10\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para classificar e resolver o sistema linear abaixo. As equações dadas são (as variáveis são x,y,z,t):
\begin{cases} 3x - y = 1,\\[4pt] 2y - 5z = -11,\\[4pt] z - t = -1,\\[4pt] x + y + z + t = 10. \end{cases}
As perguntas explícitas: (1) classificar o sistema (por exemplo: compatível determinado, compatível indeterminado ou impossível) e (2) encontrar a solução do sistema, se existir.]
Passo 2
Vou resolver o sistema por eliminação (método das operações elementares sobre linhas na matriz aumentada). Antes de começar, uma mini-aula bem prática sobre o método:
Representa-se o sistema por sua matriz aumentada (coeficientes + termo independente).
As operações elementares que preservam o conjunto de soluções são: trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um número não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo é triangularizar (ou leva-la à forma escalonada) para depois fazer substituição regressiva (back-substitution).
Vou aplicar essas operações passo a passo, mostrando os cálculos explícitos, assim dá para reproduzir na prova sem mistério.
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada correspondente na ordem das variáveis x,y,z,t:
Para simplificar cálculos, escolho uma linha com pivô 1 para ficar no topo. Troco a linha 1 com a linha 4 (operação L_1\leftrightarrow L_4). A matriz passa a ser:
Agora uso o pivô da linha 2 (coluna y, valor 2) para zerar o -4 na linha 4. Faço L_4 \leftarrow L_4 + 2L_2 porque -4 + 2\cdot 2 = 0.
Calculemos 2L_2 = (0,4,-10,0 \mid -22) e somando em L_4:
Agora uso o pivô da linha 3 (coluna z, valor 1) para zerar o coeficiente -13 em L_4. Faço L_4 \leftarrow L_4 + 13L_3 (porque -13 + 13\cdot 1 = 0).
Calculemos 13L_3 = (0,0,13,-13 \mid -13) e somando:
Finalmente, uso a primeira equação (linha 1) x + y + z + t = 10. Substituindo y=2, z=3, t=4:
x + 2 + 3 + 4 = 10 \quad\Rightarrow\quad x + 9 = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Passo 12
Concluindo a classificação: obtivemos exatamente uma solução (x,y,z,t)=(1,2,3,4). Isso significa que o sistema é compatível determinado (ou seja, tem solução e ela é única).
Passo 13
Verificação rápida (substituir na forma original para checar):
3x - y = 3\cdot1 - 2 = 1 (ok).
2y - 5z = 2\cdot2 - 5\cdot3 = 4 - 15 = -11 (ok).
z - t = 3 - 4 = -1 (ok).
x + y + z + t = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (ok).
Resposta
Sistema compatível determinado. (x,y,z,t) = (1,2,3,4)