Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{rlrl}3 x-y & & =1 \\\\ 2 y-5 z & =-11 \\\ z-t & =-1 \\\ x+y+z+t & =10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver o sistema linear abaixo. As equações dadas são (as variáveis são x,y,z,t):
\begin{cases} 3x - y = 1,\\[4pt] 2y - 5z = -11,\\[4pt] z - t = -1,\\[4pt] x + y + z + t = 10. \end{cases}
As perguntas explícitas: (1) classificar o sistema (por exemplo: compatível determinado, compatível indeterminado ou impossível) e (2) encontrar a solução do sistema, se existir.]

Passo 2

Vou resolver o sistema por eliminação (método das operações elementares sobre linhas na matriz aumentada). Antes de começar, uma mini-aula bem prática sobre o método:
  • Representa-se o sistema por sua matriz aumentada (coeficientes + termo independente).
  • As operações elementares que preservam o conjunto de soluções são: trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um número não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo é triangularizar (ou leva-la à forma escalonada) para depois fazer substituição regressiva (back-substitution).
  • Vou aplicar essas operações passo a passo, mostrando os cálculos explícitos, assim dá para reproduzir na prova sem mistério.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada correspondente na ordem das variáveis x,y,z,t:
\left(\begin{array}{cccc|c} 3 & -1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \end{array}\right).]

Passo 4

Para simplificar cálculos, escolho uma linha com pivô 1 para ficar no topo. Troco a linha 1 com a linha 4 (operação L_1\leftrightarrow L_4). A matriz passa a ser:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Explicação rápida: trocar linhas não altera as soluções, só facilita usar o 1 como pivô para zerar a coluna x abaixo dele.]

Passo 5

Zerar o coeficiente de x na última linha ( L_4). Faço L_4 \leftarrow L_4 - 3L_1. Calculemos componente a componente:
  • Coluna x: 3 - 3\cdot 1 = 0.
  • Coluna y: -1 - 3\cdot 1 = -4.
  • Coluna z: 0 - 3\cdot 1 = -3.
  • Coluna t: 0 - 3\cdot 1 = -3.
  • Termo independente: 1 - 3\cdot 10 = 1 - 30 = -29.
A matriz passa a ser:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & -4 & -3 & -3 & -29 \end{array}\right).]

Passo 6

Agora uso o pivô da linha 2 (coluna y, valor 2) para zerar o -4 na linha 4. Faço L_4 \leftarrow L_4 + 2L_2 porque -4 + 2\cdot 2 = 0.
Calculemos 2L_2 = (0,4,-10,0 \mid -22) e somando em L_4:
  • Coluna y: -4 + 4 = 0.
  • Coluna z: -3 + (-10) = -13.
  • Coluna t: -3 + 0 = -3.
  • Termo independente: -29 + (-22) = -51.
A matriz fica:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -13 & -3 & -51 \end{array}\right).]

Passo 7

Agora uso o pivô da linha 3 (coluna z, valor 1) para zerar o coeficiente -13 em L_4. Faço L_4 \leftarrow L_4 + 13L_3 (porque -13 + 13\cdot 1 = 0).
Calculemos 13L_3 = (0,0,13,-13 \mid -13) e somando:
  • Coluna z: -13 + 13 = 0.
  • Coluna t: -3 + (-13) = -16.
  • Termo independente: -51 + (-13) = -64.
A matriz escalonada fica:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -16 & -64 \end{array}\right).]

Passo 8

A última linha corresponde à equação -16t = -64. Portanto:
-16t = -64 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{-64}{-16} = 4.

Passo 9

Substituo t na linha 3, que é z - t = -1. Com t=4:
z - 4 = -1 \quad\Rightarrow\quad z = -1 + 4 = 3.

Passo 10

Substituo z na linha 2, que é 2y - 5z = -11. Com z=3:
2y - 5\cdot 3 = -11 \quad\Rightarrow\quad 2y - 15 = -11 \quad\Rightarrow\quad 2y = 4 \quad\Rightarrow\quad y = 2.

Passo 11

Finalmente, uso a primeira equação (linha 1) x + y + z + t = 10. Substituindo y=2, z=3, t=4:
x + 2 + 3 + 4 = 10 \quad\Rightarrow\quad x + 9 = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Passo 12

Concluindo a classificação: obtivemos exatamente uma solução (x,y,z,t)=(1,2,3,4). Isso significa que o sistema é compatível determinado (ou seja, tem solução e ela é única).

Passo 13

Verificação rápida (substituir na forma original para checar):
  • 3x - y = 3\cdot1 - 2 = 1 (ok).
  • 2y - 5z = 2\cdot2 - 5\cdot3 = 4 - 15 = -11 (ok).
  • z - t = 3 - 4 = -1 (ok).
  • x + y + z + t = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (ok).

Resposta

Sistema compatível determinado.
(x,y,z,t) = (1,2,3,4)

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