Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares: \left\{\begin{array}{rrl}3 x-y & +z & =0 \\\ x & +y & -2 z \\\\ 5 x & =0 \\\\ 5 y & +4 z & =0\end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O sistema linear fornecido é
\begin{cases} 3x - y + z = 0,\\[4pt] x + y - 2z = 0,\\[4pt] 5x = 0,\\[4pt] 5y + 4z = 0. \end{cases}
As incógnitas são x, y e z.
O enunciado pede duas coisas: (i) classificar o sistema (se é compatível/particularmente determinado ou incompatível, etc.); (ii) resolver o sistema (achar os valores de x,y,z).]
Passo 2
Antes de partir para contas, uma explicação didática rápida sobre classificação de sistemas (coisa que cai bastante em prova):
Um sistema é chamado de homogêneo se todos os termos do lado direito são zero. Aqui o sistema é homogêneo porque todas as equações têm zero no lado direito.
Todo sistema homogêneo é compatível (tem pelo menos a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0)).
Para decidir se a solução trivial é a única (sistema compatível determinado) ou se há infinitas soluções (sistema compatível indeterminado) usamos a noção de posto (rank) da matriz dos coeficientes.
Regra prática:
Se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao número de incógnitas (n), então existe apenas a solução trivial (no caso homogêneo): sistema compatível determinado.
Se o posto é menor que n, então existem infinitas soluções (no caso homogêneo): sistema compatível indeterminado.
Outra observação prática: se alguma equação isola diretamente uma incógnita (por exemplo 5x=0), é sempre eficiente usar substituição.
Agora vamos resolver usando substituição (método direto, simples) e depois confirmar a classificação pelo posto (uma pequena verificação com determinante de um subdeterminante 3×3).
Passo 3
Resolver por substituição, passo a passo:
Da terceira equação temos imediatamente
5x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
Substituindo x=0\) nas duas primeiras equações obtemos:
\[\begin{cases} 3\cdot 0 - y + z = 0 \;\Rightarrow\; -y + z = 0,\\[4pt] 0 + y - 2z = 0 \;\Rightarrow\; y - 2z = 0. \end{cases}
A primeira dessas duas dá
-z + y = 0 \quad\text{ou}\quad z = y.
Substituindo z=y\] na segunda:
\[y - 2z = y - 2y = -y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0.\]
- Como \(z = y, segue
z = 0.
Por fim, verificamos a quarta equação com esses valores:
5y + 4z = 5\cdot 0 + 4\cdot 0 = 0,
que é satisfeita. Portanto a solução encontrada é consistente com todas as equações.]
Passo 4
Justificativa alternativa (mais “teórica”) via posto: mostrar que o posto da matriz dos coeficientes é 3 (igual ao número de incógnitas), logo a única solução do sistema homogêneo é a trivial.
A matriz dos coeficientes pode ser vista pelas linhas
Se existir um subdeterminante 3\times 3 formado por três linhas independentes com determinante não nulo, então o posto é 3. Tomemos as linhas R_1,R_3,R_4 e forme a matriz
Como \det(M)=45\neq 0, as linhas escolhidas são linearmente independentes e o posto da matriz dos coeficientes é pelo menos 3. Como não pode ser maior que 3 (são 3 colunas), o posto é exatamente 3.
Portanto o posto da matriz dos coeficientes é igual ao número de incógnitas n=3. Pelo que foi explicado no Passo 2, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial.]
Passo 5
Conclusão final (classificação e solução): o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução) e essa solução é a trivial.