Nos exercícios 48,54 assume-se que uma orientação de V^{3} está fixada.
Seja \vec{u} \neq \overrightarrow{0}. Prove que se \vec{u} \cdot \vec{v}=0 e \vec{u} \wedge \vec{v}=\overrightarrow{0}, então \vec{v}=\overrightarrow{0}. Interprete esse resultado geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a conclusão:
  • Há um espaço vetorial orientado de dimensão 3, V^{3}, com orientação fixada.
  • Tem-se um vetor \vec{u}\neq\overrightarrow{0}.
  • Sabe-se que \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
  • Sabe-se que \vec{u}\wedge\vec{v}=\overrightarrow{0}.
    O que se pede: provar que disso segue \vec{v}=\overrightarrow{0} e interpretar geometricamente o resultado.

Passo 2

O que significa cada informação (definições e propriedades que vamos usar), explicado passo a passo e sem pressupor conhecimento:
  • Produto escalar (dot product): para dois vetores \vec{a} e \vec{b} define-se \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Aqui \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) de \vec{a}. Em particular, \vec{a}\cdot\vec{b}=0 significa que os vetores são ortogonais (ângulo \theta=\tfrac{\pi}{2}).
  • Produto vetorial (cross product): em V^{3} com orientação fixada, o símbolo \wedge do enunciado será usado como produto vetorial. Para \vec{a},\vec{b}\in V^3, o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos, com magnitude igual à área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}. A fórmula de magnitude é
\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. A orientação fixa garante o sentido (direção) do vetor \vec{a}\times\vec{b} pela regra da mão direita.
  • Consequência útil: \vec{a}\times\vec{b}=\overrightarrow{0} ocorre exatamente quando \sin\theta=0 ou quando um dos vetores é o vetor nulo. Se \vec{a}\neq\overrightarrow{0} então \vec{a}\times\vec{b}=\overrightarrow{0} implica que \theta=0 ou \theta=\pi, isto é, \vec{a} e \vec{b} são colineares (paralelos, possivelmente em sentidos opostos). Em termos algébricos, isso significa que existe um escalar \lambda tal que \vec{b}=\lambda\vec{a}.

Passo 3

Aplicando a propriedade do produto vetorial ao nosso caso:
  • Do enunciado temos \vec{u}\wedge\vec{v}=\overrightarrow{0}. Interpretando \wedge como o produto vetorial, isto é \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Como foi dado \vec{u}\neq\overrightarrow{0}, pela propriedade citada no Passo 2 segue que \vec{u} e \vec{v} são colineares. Logo existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=\lambda\vec{u}.

Passo 4

Agora use a condição do produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}=0:
  • Substituindo \vec{v}=\lambda\vec{u} obtemos
\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\lambda\vec{u})=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{u})=\lambda\|\vec{u}\|^{2}.
  • Pelo enunciado \vec{u}\cdot\vec{v}=0, então
\lambda\|\vec{u}\|^{2}=0.
  • Como \vec{u}\neq\overrightarrow{0}, tem-se \|\vec{u}\|^{2}>0. Portanto a única solução é \lambda=0.

Passo 5

Conclui-se da igualdade \lambda=0 que
\vec{v}=\lambda\vec{u}=0\cdot\vec{u}=\overrightarrow{0}.
Assim a prova algébrica está completa.

Passo 6

Interpretação geométrica (intuitiva e curta, para fixar a ideia):
  • A condição \vec{u}\wedge\vec{v}=\overrightarrow{0} diz que \vec{v} é paralelo a \vec{u} (ou é nulo). A condição \vec{u}\cdot\vec{v}=0 diz que \vec{v} é perpendicular a \vec{u}.
  • Geometricamente, um vetor distinto de zero não pode ser simultaneamente paralelo e perpendicular a outro vetor não nulo. A única maneira de satisfazer as duas condições ao mesmo tempo é que \vec{v} seja o vetor nulo.
  • Intuição visual: imaginar a reta dirigida por \vec{u}. Ser paralelo significa estar sobre essa reta; ser perpendicular significa apontar fora dessa reta num ângulo de 90^\circ. O único “vetor” que está simultaneamente sobre a reta e apontando fora dela é o vetor zero (que não tem direção).

Resposta

\vec{v}=\overrightarrow{0}

Exercícios relacionados