Nos exercícios 48,54 assume-se que uma orientação de
está fixada.
Seja
. Prove que se
e
, então
. Interprete esse resultado geometricamente.
Seja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a conclusão:
- Há um espaço vetorial orientado de dimensão 3,
, com orientação fixada. - Tem-se um vetor
. - Sabe-se que
. - Sabe-se que
.
O que se pede: provar que disso seguee interpretar geometricamente o resultado.
Passo 2
O que significa cada informação (definições e propriedades que vamos usar), explicado passo a passo e sem pressupor conhecimento:
- Produto escalar (dot product): para dois vetores
e define-se , onde é o ângulo entre e . Aqui é o comprimento (norma) de . Em particular, significa que os vetores são ortogonais (ângulo ). - Produto vetorial (cross product): em
com orientação fixada, o símbolo do enunciado será usado como produto vetorial. Para , o produto vetorial é um vetor perpendicular a ambos, com magnitude igual à área do paralelogramo formado por e . A fórmula de magnitude é
onde
é o ângulo entre
e
. A orientação fixa garante o sentido (direção) do vetor
pela regra da mão direita.
- Consequência útil:
ocorre exatamente quando ou quando um dos vetores é o vetor nulo. Se então implica que ou , isto é, e são colineares (paralelos, possivelmente em sentidos opostos). Em termos algébricos, isso significa que existe um escalar tal que .
Passo 3
Aplicando a propriedade do produto vetorial ao nosso caso:
- Do enunciado temos
. Interpretando como o produto vetorial, isto é . - Como foi dado
, pela propriedade citada no Passo 2 segue que e são colineares. Logo existe tal que
Passo 4
Agora use a condição do produto escalar
:
- Substituindo
obtemos
- Pelo enunciado
, então
- Como
, tem-se . Portanto a única solução é .
Passo 5
Conclui-se da igualdade
que
Assim a prova algébrica está completa.
Passo 6
Interpretação geométrica (intuitiva e curta, para fixar a ideia):
- A condição
diz que é paralelo a (ou é nulo). A condição diz que é perpendicular a . - Geometricamente, um vetor distinto de zero não pode ser simultaneamente paralelo e perpendicular a outro vetor não nulo. A única maneira de satisfazer as duas condições ao mesmo tempo é que
seja o vetor nulo. - Intuição visual: imaginar a reta dirigida por
. Ser paralelo significa estar sobre essa reta; ser perpendicular significa apontar fora dessa reta num ângulo de . O único “vetor” que está simultaneamente sobre a reta e apontando fora dela é o vetor zero (que não tem direção).