Determine k para que o sistema indicado seja determinado: \left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\\\ 3 x-2 y=k \\\ x+k y=5\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de três equações com duas incógnitas x\) e \(y\) e um parâmetro \(k\). Pergunta: determinar os valores de \(k\) para os quais o sistema tem exatamente uma solução (isto é, é um sistema determinado). As informações fornecidas são:
\[\begin{cases} x+y=5,\\[4pt] 3x-2y=k,\\[4pt] x+ky=5. \end{cases}
Temos que encontrar todos os valores de (k] que tornam esse sistema compatível e com solução única.]
Passo 2
Estratégia: como são três equações e duas incógnitas, o sistema pode ter zero, uma ou infinitas soluções. Uma forma prática é usar as duas primeiras equações para encontrar x e y em função de k (se possível) e então exigir que esses x,y também satisfaçam a terceira equação. Antes disso, verifico se as duas primeiras equações definem uma solução única: o sistema formado pelas duas primeiras tem matriz dos coeficientes
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix},
cujo determinante é
\det = 1\cdot(-2)-1\cdot3 = -2-3 = -5 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, as duas primeiras equações determinam uma única solução (x,y) para qualquer k. Então o único requisito para que o sistema todo tenha exatamente uma solução é que essa solução também satisfaça a terceira equação.]
Passo 3
Vou resolver as duas primeiras equações por substituição. Da primeira equação temos
Vou simplificar passo a passo. Primeiro somo os termos com denominador 5:
2+\frac{k}{5}+\frac{15k-k^2}{5}=5.
Combine as frações:
2+\frac{k+15k-k^2}{5}=5.
2+\frac{16k-k^2}{5}=5.
Subtraio 2 de ambos os lados:
\frac{16k-k^2}{5}=3.
Multiplico por 5:
16k-k^2=15.
Reescrevo como uma quadrática padrão:
-k^2+16k-15=0 \quad\Rightarrow\quad k^2-16k+15=0.
Passo 7
Resolvo a equação quadrática k^2-16k+15=0. Calculando o discriminante:
\Delta = (-16)^2-4\cdot1\cdot15=256-60=196.
Como \sqrt{\Delta}=14, as raízes são
k=\frac{16\pm14}{2}.
Portanto
k=\frac{16+14}{2}=\frac{30}{2}=15
ou
k=\frac{16-14}{2}=\frac{2}{2}=1.
Passo 8
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): para k=15 temos y=(15-15)/5=0 e x=5; a terceira equação fica 5+15\cdot0=5, ok. Para k=1 temos y=(15-1)/5=14/5 e x=2+1/5=11/5; a terceira equação fica 11/5+1\cdot14/5=25/5=5, ok. Em ambos os casos as primeiras duas equações continuam independentes (determinante -5), então o sistema todo tem exatamente uma solução.