Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
e^{x} x+x^{3}+x^{5}=-3

Passo 1

O enunciado dá a equação
e^{x}x + x^{3} + x^{5} = -3
e pede que a classifiquemos em uma das categorias: algébrica (polinomial ou não) ou transcendental. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação contém o termo \,e^{x}x\, (ou seja, x multiplicado por e^{x}).
  • A equação também contém termos polinomiais \,x^{3} e \,x^{5}.
  • A pergunta é: essa equação é polinomial, é algébrica mas não polinomial, ou é transcendental?

Passo 2

Definição e teste para “polinomial”: uma equação é polinomial se pode ser escrita na forma
P(x)=0,
onde
P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0
é um polinômio (os coeficientes a_i são constantes dadas). Exemplo simples: \,x^{2}-2x+1=0 é polinomial. Para verificar se a nossa equação é polinomial, reescrevo todos os termos num só lado:
x e^{x} + x^{3} + x^{5} + 3 = 0.
Aqui aparece o fator e^{x}. Em polinômios só são permitidas potências inteiras não negativas de x e coeficientes constantes; funções como e^{x} não são permitidas. Portanto, a equação não é polinomial.

Passo 3

O que significa “algébrica (não polinomial)”? Uma equação é dita algébrica (em sentido amplo) se envolve apenas operações algébricas sobre x: soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes (raízes n-ésimas, potências racionais). Um exemplo de equação algébrica não polinomial é
\sqrt{x}+x=2,
pois, ao elevar ao quadrado e manipular com operações algébricas finitas, obtém-se um polinômio em x. A ideia-chave: todas as funções envolvidas devem ser funções algébricas de x (como x^{1/2}, x^{3/2}, ou racionais em x). Se a equação puder ser transformada por um número finito de operações algébricas em uma equação polinomial, dizemos que ela é algébrica.

Passo 4

Definição de “transcendental”: uma equação é transcendental se envolve pelo menos uma função transcendental de x, isto é, uma função que não é algébrica — exemplos clássicos são e^{x}, \ln x, \sin x, \cos x, etc. Essas funções não podem ser obtidas por um conjunto finito de operações algébricas a partir de x. Um consequente teste prático: se a equação contém uma ocorrência não removível de uma função como e^{x}, a equação é transcendental. Exemplo: \,e^{x}+x=0\, é transcendental.

Passo 5

Aplicando as definições ao caso concreto: a equação tem o termo \,x e^{x}, isto é, há uma dependência explícita de e^{x} em função de x. Não existe um procedimento de finitas operações algébricas que elimine e^{x} e transforme a equação inteira em um polinômio em x. Portanto a presença de e^{x} torna a equação transcendental.

Passo 6

Resumo lógico e conclusão: a equação não é polinomial (por conter e^{x}), não é algébrica no sentido de poder ser reduzida a um polinômio por operações algébricas (porque e^{x} é transcendental), então a classificação correta é que a equação é transcendental.

Resposta

Transcendental.

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