Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a classifiquemos em uma das categorias: algébrica (polinomial ou não) ou transcendental. Informações relevantes fornecidas:
- A equação contém o termo
(ou seja, multiplicado por ). - A equação também contém termos polinomiais
e . - A pergunta é: essa equação é polinomial, é algébrica mas não polinomial, ou é transcendental?
Passo 2
Definição e teste para “polinomial”: uma equação é polinomial se pode ser escrita na forma
onde
é um polinômio (os coeficientes
são constantes dadas). Exemplo simples:
é polinomial. Para verificar se a nossa equação é polinomial, reescrevo todos os termos num só lado:
Aqui aparece o fator
. Em polinômios só são permitidas potências inteiras não negativas de
e coeficientes constantes; funções como
não são permitidas. Portanto, a equação não é polinomial.
Passo 3
O que significa “algébrica (não polinomial)”? Uma equação é dita algébrica (em sentido amplo) se envolve apenas operações algébricas sobre
: soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes (raízes n-ésimas, potências racionais). Um exemplo de equação algébrica não polinomial é
pois, ao elevar ao quadrado e manipular com operações algébricas finitas, obtém-se um polinômio em
. A ideia-chave: todas as funções envolvidas devem ser funções algébricas de
(como
ou racionais em
). Se a equação puder ser transformada por um número finito de operações algébricas em uma equação polinomial, dizemos que ela é algébrica.
Passo 4
Definição de “transcendental”: uma equação é transcendental se envolve pelo menos uma função transcendental de
, isto é, uma função que não é algébrica — exemplos clássicos são
,
,
,
, etc. Essas funções não podem ser obtidas por um conjunto finito de operações algébricas a partir de
. Um consequente teste prático: se a equação contém uma ocorrência não removível de uma função como
, a equação é transcendental. Exemplo:
é transcendental.
Passo 5
Aplicando as definições ao caso concreto: a equação tem o termo
, isto é, há uma dependência explícita de
em função de
. Não existe um procedimento de finitas operações algébricas que elimine
e transforme a equação inteira em um polinômio em
. Portanto a presença de
torna a equação transcendental.
Passo 6
Resumo lógico e conclusão: a equação não é polinomial (por conter
), não é algébrica no sentido de poder ser reduzida a um polinômio por operações algébricas (porque
é transcendental), então a classificação correta é que a equação é transcendental.
Resposta
Transcendental.