Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
\sqrt{x}+\sqrt[3]{x \cos (x)}=1

Passo 1

O enunciado pede que classifiquemos a equação dada em algébrica (polinomial ou não) ou transcendente. A equação fornecida é
\sqrt{x}+\sqrt[3]{x\cos(x)}=1.
Informações relevantes do enunciado:
  • Há dois termos à esquerda: \sqrt{x} e \sqrt[3]{x\cos(x)}.
  • O segundo termo contém \cos(x).
  • O lado direito é o número \;1.
  • A tarefa é decidir a que tipo a equação pertence: polinomial, algébrica (mas não polinomial) ou transcendente.

Passo 2

O que é uma equação polinomial? Uma equação polinomial é da forma
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0,
onde os coeficientes a_i são números (ou constantes) e os expoentes são inteiros não negativos. Exemplo simples: \;x^2-3x+2=0. Característica-chave: só aparecem somas, subtrações e multiplicações envolvendo potências inteiras não negativas de x. Se a equação tiver qualquer função não-polinomial (como raízes com expoentes fracionários, trigonometria, exponencial, logaritmo etc.), ela não é polinomial.

Passo 3

O que é uma equação algébrica (não polinomial)? Aqui usamos a noção prática: uma equação é algébrica se a incógnita aparece apenas através de operações algébricas finitas — ou seja, soma, subtração, multiplicação, divisão e extração finita de raízes (radicais) aplicadas a polinômios em x. Exemplos:
  • \sqrt{x+1}=x-1 é algébrica: ao elevar ao quadrado podemos transformá‑la em um polinômio.
  • \sqrt[3]{x}=2 é algébrica (basta elevar ao cubo).
    A ideia útil: se, por um número finito de aplicações de operações algébricas (incluindo radicais), se consegue eliminar todas as funções e obter uma equação polinomial em x, então começamos com uma equação algébrica.

Passo 4

O que é uma equação transcendente? Uma equação é dita transcendente quando envolve pelo menos uma função transcendental — funções que não podem ser obtidas por um número finito de operações algébricas (soma, produto, raízes) a partir de x. Exemplos clássicos de funções transcendentes: \sin(x), \cos(x), \tan(x), e^x, \ln(x). Exemplos de equações transcendentes: \cos(x)=x ou e^x=x^2. Essas equações não podem ser reduzidas, por manipulações algébricas finitas, a uma equação polinomial em x.

Passo 5

Analise direta dos termos da equação dada:
  • O termo \sqrt{x} é uma operação algébrica (radical de índice 2) aplicada a x, logo esse termo sozinho é algébrico.
  • O termo \sqrt[3]{x\cos(x)} é um radical de índice 3 aplicado ao produto x\cos(x). Observe que dentro da raiz aparece \cos(x).
  • A função \cos(x) é uma função trigonométrica clássica, que é transcendental — ou seja, não pode ser obtida por um número finito de operações algébricas sobre x.

Passo 6

Conclusão lógica: mesmo que façamos uma raiz cúbica, a presença de \cos(x) significa que o termo \sqrt[3]{x\cos(x)} contém uma função transcendental. A composição de uma função transcendental com operações algébricas (como multiplicação por x e extração de raiz) continua a produzir uma expressão transcendental no sentido de que não é possível, por um número finito de manipulações algébricas, eliminar a \cos(x) e reduzir a equação a um polinômio em x. Portanto a equação inteira não é polinomial nem pode ser convertida a uma equação algébrica puramente por radicais: ela é transcendente.

Passo 7

Resposta final: a equação dada é uma equação transcendente, por conter a função trigonométrica \cos(x), que é transcendental.

Resposta

Transcendental.

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