Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
Passo 1
O enunciado pede que classifiquemos a equação dada em algébrica (polinomial ou não) ou transcendente. A equação fornecida é
Informações relevantes do enunciado:
- Há dois termos à esquerda:
e . - O segundo termo contém
. - O lado direito é o número
. - A tarefa é decidir a que tipo a equação pertence: polinomial, algébrica (mas não polinomial) ou transcendente.
Passo 2
O que é uma equação polinomial? Uma equação polinomial é da forma
onde os coeficientes
são números (ou constantes) e os expoentes são inteiros não negativos. Exemplo simples:
. Característica-chave: só aparecem somas, subtrações e multiplicações envolvendo potências inteiras não negativas de
. Se a equação tiver qualquer função não-polinomial (como raízes com expoentes fracionários, trigonometria, exponencial, logaritmo etc.), ela não é polinomial.
Passo 3
O que é uma equação algébrica (não polinomial)? Aqui usamos a noção prática: uma equação é algébrica se a incógnita aparece apenas através de operações algébricas finitas — ou seja, soma, subtração, multiplicação, divisão e extração finita de raízes (radicais) aplicadas a polinômios em
. Exemplos:
-
é algébrica: ao elevar ao quadrado podemos transformá‑la em um polinômio. -
é algébrica (basta elevar ao cubo).
A ideia útil: se, por um número finito de aplicações de operações algébricas (incluindo radicais), se consegue eliminar todas as funções e obter uma equação polinomial em, então começamos com uma equação algébrica.
Passo 4
O que é uma equação transcendente? Uma equação é dita transcendente quando envolve pelo menos uma função transcendental — funções que não podem ser obtidas por um número finito de operações algébricas (soma, produto, raízes) a partir de
. Exemplos clássicos de funções transcendentes:
,
,
,
,
. Exemplos de equações transcendentes:
ou
. Essas equações não podem ser reduzidas, por manipulações algébricas finitas, a uma equação polinomial em
.
Passo 5
Analise direta dos termos da equação dada:
- O termo
é uma operação algébrica (radical de índice ) aplicada a , logo esse termo sozinho é algébrico. - O termo
é um radical de índice aplicado ao produto . Observe que dentro da raiz aparece . - A função
é uma função trigonométrica clássica, que é transcendental — ou seja, não pode ser obtida por um número finito de operações algébricas sobre .
Passo 6
Conclusão lógica: mesmo que façamos uma raiz cúbica, a presença de
significa que o termo
contém uma função transcendental. A composição de uma função transcendental com operações algébricas (como multiplicação por
e extração de raiz) continua a produzir uma expressão transcendental no sentido de que não é possível, por um número finito de manipulações algébricas, eliminar a
e reduzir a equação a um polinômio em
. Portanto a equação inteira não é polinomial nem pode ser convertida a uma equação algébrica puramente por radicais: ela é transcendente.
Passo 7
Resposta final: a equação dada é uma equação transcendente, por conter a função trigonométrica
, que é transcendental.
Resposta
Transcendental.