Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y^{2} \sqrt{1+x}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y^{2}\sqrt{1+x}}
nos tipos separável, linear, exata ou nenhum. Vamos usar as definições de cada tipo de EDO para testar em sequência.

Passo 2

Verificação de separabilidade: escrevendo
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{1+x}}\;\frac{1}{y^{2}}
vemos que podemos separar variáveis em
y^{2}\,dy = \frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx,
logo a equação é do tipo separável.

Passo 3

Verificação de linearidade: uma EDO é linear em y se puder ser posta na forma
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x).
Aqui o termo em y aparece como y^{-2}, o que não se ajusta à forma linear padrão. Portanto não é linear.

Passo 4

Verificação de exatidão: escrevendo em forma diferencial
-\frac{x}{y^{2}\sqrt{1+x}}\,dx + 1\cdot dy = 0
temos M(x,y) = -\tfrac{x}{y^{2}\sqrt{1+x}} e N(x,y)=1. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{2x}{y^{3}\sqrt{1+x}} \neq \frac{\partial N}{\partial x}=0,
logo não é exata.

Resposta

S

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