Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
(\sin x) y^{\prime \prime \prime}-(\cos x) y^{\prime}=2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
(\sin x)\,y''' - (\cos x)\,y' = 2
em um dos tipos: separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum dos tipos (N). Para isso, vamos usar as definições:
  • Separável: ocorre em equações de primeira ordem da forma \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y).
  • Exata: também primeira ordem, escrita como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
  • Linear de ordem n: aparece como
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
com a_i(x) funções de x e g(x) termo não homogêneo.

Passo 2

Verificação de separabilidade:
A separabilidade só faz sentido para equações de primeira ordem no formato \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y). Aqui temos uma equação de terceira ordem envolvendo y''' e y'. Não se aplica o conceito de separável.

Passo 3

Verificação de exatidão:
A exatidão também é uma condição de equação de primeira ordem escrita como forma diferencial M\,dx+N\,dy=0. Nossa equação é de terceira ordem, portanto não cabe classificação como exata.

Passo 4

Verificação de linearidade:
A equação
(\sin x)\,y''' - (\cos x)\,y' = 2
é da forma
a_3(x)\,y''' + a_1(x)\,y' + 0\cdot y = g(x),
onde a_3(x)=\sin x, a_1(x)=-\cos x e g(x)=2. Note que y, y', y''' aparecem linearmente (sem produtos ou funções não lineares de y ou de derivadas) e os coeficientes dependem apenas de x. Logo, é uma equação diferencial linear de ordem 3.

Resposta

L

Exercícios relacionados