Resolva as EDs abaixo usando a substituição adequada.
\frac{d y}{d x}-y=e^{2 x} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}-y=e^{2x}y^{3}
reconhecendo que ela é uma equação de Bernoulli com n=3. Para resolver vamos usar a substituição padrão de Bernoulli u=y^{1-n}=y^{-2}, transformando-a em uma equação linear em u(x).

Passo 2

Escrevemos primeiro no formato
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
onde P(x)=-1, Q(x)=e^{2x} e n=3. A substituição de Bernoulli é
u=y^{1-n}=y^{-2}.

Passo 3

Calculamos \frac{du}{dx} em função de \frac{dy}{dx}. Como
u=y^{-2},
temos
\frac{du}{dx}=-2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx}.
Da equação original \frac{dy}{dx}=y+e^{2x}y^{3}, substituímos:
\frac{du}{dx}=-2\bigl(y^{-3}\,y + y^{-3}\,e^{2x}y^{3}\bigr) =-2\bigl(y^{-2}+e^{2x}\bigr).
Como u=y^{-2}, isso fica
\frac{du}{dx}+2\,u=-2\,e^{2x},
que é uma equação linear em u.

Passo 4

Para resolver
\frac{du}{dx}+2\,u=-2\,e^{2x}
calculamos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando tudo por e^{2x} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}u\bigr)=-2\,e^{2x}\,e^{2x}=-2\,e^{4x}.
Integramos em x:
e^{2x}u=\int -2\,e^{4x}\,dx=-\tfrac12\,e^{4x}+C.
Logo
u=y^{-2}=-\tfrac12\,e^{2x}+C\,e^{-2x}.

Passo 5

Voltando à variável y, temos
y^{-2}=C\,e^{-2x}-\tfrac12\,e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\frac{1}{C\,e^{-2x}-\tfrac12\,e^{2x}}
e portanto
y(x)=\pm\sqrt{\frac{1}{C\,e^{-2x}-\tfrac12\,e^{2x}}}.

Resposta

\boxed{y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{C\,e^{-2x}-\tfrac12\,e^{2x}}},}
onde C é constante arbitrária.

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