Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede que a equação seja classificada como EDO ou EDP.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A incógnita é
(uma função cujo domínio não foi explicitado, mas aparecem derivadas parciais em relação a e ). - Aparecem os termos
e . - O lado direito é
.
Passo 2
O que significam as palavras-chave que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
- Derivada ordinária: quando uma função depende de uma única variável independente, a derivada é escrita como
. Isso indica que há apenas uma variável independente. Exemplo simples: se , então é uma derivada ordinária. - Derivada parcial: quando a função depende de mais de uma variável independente (por exemplo
), derivadas em relação a uma das variáveis são escritas com , por exemplo e . Essas derivadas tratam as outras variáveis como constantes enquanto derivam em relação àquela variável específica. Exemplo simples: se , então e .
Passo 3
Definições operacionais usadas para classificar (aqui ensino como decidir na hora da prova).
- Equação diferencial ordinária (EDO): envolve derivadas ordinárias
de uma função que depende de uma única variável independente. Não aparecem derivadas parciais . - Equação diferencial parcial (EDP): envolve derivadas parciais
, , etc., de uma função que depende de duas ou mais variáveis independentes.
Na prova, a regra prática é: se aparecem símbolos
(derivadas parciais) a equação é uma EDP; se aparecem apenas
(ou
) é EDO.
Passo 4
Aplicando a regra prática à equação dada. Observamos que a equação contém explicitamente
e
(símbolos de derivada parcial). Portanto, trata-se de uma equação que relaciona derivadas parciais de
em relação a duas variáveis independentes diferentes (
e
). Isso identifica a equação como uma EDP.
Passo 5
Complemento didático — classificação mais detalhada (útil para a prova):
- Ordem: a ordem da equação é a maior ordem de derivada que aparece; aqui só aparecem derivadas de primeira ordem, logo é de primeira ordem.
- Linearidade: uma EDP é linear se os termos que envolvem
e suas derivadas aparecem de forma linear (coeficientes podem depender de mas não envolvem produtos ou funções não lineares de ). Aqui os termos são e , que aparecem linearmente; o lado direito é (não envolve ). Portanto é uma EDP linear. - Homogeneidade: é homogênea se o lado direito for zero; aqui o lado direito é
em geral, então a equação é não homogênea.
Em resumo: a equação é uma equação diferencial parcial de \emph{primeira ordem}, \emph{linear} e \emph{não homogênea}.
Passo 6
Um lembrete prático para a prova: ao ver
já marque mentalmente “EDP”. Se precisar, anote também ordem e se é linear/heterogênea — isso costuma ajudar a escolher métodos (por exemplo, equações de transportes de primeira ordem, método das características, etc.). Força aí — você já sabe como reconhecer rápido na hora da prova!
Resposta
EDP