Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
\frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}=x y

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=x y
e pede que a equação seja classificada como EDO ou EDP.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A incógnita é u (uma função cujo domínio não foi explicitado, mas aparecem derivadas parciais em relação a x e y).
  • Aparecem os termos \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}.
  • O lado direito é x y.

Passo 2

O que significam as palavras-chave que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Derivada ordinária: quando uma função depende de uma única variável independente, a derivada é escrita como \dfrac{du}{dx}. Isso indica que há apenas uma variável independente. Exemplo simples: se u=u(x), então \dfrac{du}{dx} é uma derivada ordinária.
  • Derivada parcial: quando a função depende de mais de uma variável independente (por exemplo u=u(x,y)), derivadas em relação a uma das variáveis são escritas com \partial, por exemplo \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}. Essas derivadas tratam as outras variáveis como constantes enquanto derivam em relação àquela variável específica. Exemplo simples: se u(x,y)=x^2 y, então \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x y e \dfrac{\partial u}{\partial y}=x^2.

Passo 3

Definições operacionais usadas para classificar (aqui ensino como decidir na hora da prova).
  • Equação diferencial ordinária (EDO): envolve derivadas ordinárias \dfrac{d}{dx} de uma função que depende de uma única variável independente. Não aparecem derivadas parciais \partial.
  • Equação diferencial parcial (EDP): envolve derivadas parciais \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, etc., de uma função que depende de duas ou mais variáveis independentes.
Na prova, a regra prática é: se aparecem símbolos \partial (derivadas parciais) a equação é uma EDP; se aparecem apenas \dfrac{d}{dx} (ou u') é EDO.

Passo 4

Aplicando a regra prática à equação dada. Observamos que a equação contém explicitamente \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} (símbolos de derivada parcial). Portanto, trata-se de uma equação que relaciona derivadas parciais de u em relação a duas variáveis independentes diferentes ( x e y). Isso identifica a equação como uma EDP.

Passo 5

Complemento didático — classificação mais detalhada (útil para a prova):
  • Ordem: a ordem da equação é a maior ordem de derivada que aparece; aqui só aparecem derivadas de primeira ordem, logo é de primeira ordem.
  • Linearidade: uma EDP é linear se os termos que envolvem u e suas derivadas aparecem de forma linear (coeficientes podem depender de x,y mas não envolvem produtos ou funções não lineares de u). Aqui os termos são \dfrac{\partial u}{\partial x} e 3\dfrac{\partial u}{\partial y}, que aparecem linearmente; o lado direito é x y (não envolve u). Portanto é uma EDP linear.
  • Homogeneidade: é homogênea se o lado direito for zero; aqui o lado direito é x y\neq0 em geral, então a equação é não homogênea.
Em resumo: a equação é uma equação diferencial parcial de \emph{primeira ordem}, \emph{linear} e \emph{não homogênea}.

Passo 6

Um lembrete prático para a prova: ao ver \partial já marque mentalmente “EDP”. Se precisar, anote também ordem e se é linear/heterogênea — isso costuma ajudar a escolher métodos (por exemplo, equações de transportes de primeira ordem, método das características, etc.). Força aí — você já sabe como reconhecer rápido na hora da prova!

Resposta

EDP

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