Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
O que é pedido: classificar essa equação como EDO ou EDP.
Informações dadas que são relevantes:
Informações dadas que são relevantes:
- A variável independente explícita visível é
. - A incógnita é
(escrita como função de , ou seja — isso está implícito pela notação). - Aparece a derivada
(derivada segunda em relação a ). - Coeficientes são funções de
: e . - O lado direito é
(termo não nulo).
Passo 2
Explicação didática dos conceitos que precisamos para decidir:
- O que é uma EDO (equação diferencial ordinária): é uma equação que relaciona uma função desconhecida e suas derivadas ordinárias em relação a uma única variável independente (por exemplo
). A notação típica usa ou . - O que é uma EDP (equação diferencial parcial): é uma equação que envolve derivadas parciais de uma função que depende de duas ou mais variáveis independentes (por exemplo
). A notação típica usa , , etc. - Regra prática para identificar rapidinho numa prova: se aparecerem derivadas do tipo
, e só houver uma variável independente, é EDO. Se aparecerem símbolos ou a função depender visivelmente de duas variáveis (ex.: ) e aparecerem derivadas em relação a duas direções, é EDP.
Passo 3
Aplicando o critério à equação dada:
- A única variável independente visível é
. A incógnita está escrita como e a derivada é , ou seja, é derivada ordinária em relação a uma única variável. - Não há nenhuma derivada parcial
nem indicação de dependência da função em mais de uma variável (por exemplo ou ). Portanto trata-se de uma equação envolvendo derivações em apenas uma variável independente.
Conclusão intermediária: é uma EDO (equação diferencial ordinária).
Passo 4
Classificação mais detalhada (útil na prova, além de só dizer EDO):
- Ordem: o maior ordem de derivada que aparece é a segunda, pois aparece
. Logo é de segunda ordem. - Linearidade: a equação é linear em
e suas derivadas porque e aparecem apenas multiplicados por funções de (não aparecem termos como , , , etc.). Assim é linear. - Homogeneidade: há um termo não nulo no lado direito,
, portanto é não homogênea. - Coeficientes: os coeficientes (
e ) dependem de , então são coeficientes variáveis (não constantes).
Resumo técnico: é uma EDO de segunda ordem, linear, não homogênea, com coeficientes dependentes de
.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar o critério:
- Exemplo de EDO simples:
— uma única variável independente , derivadas ordinárias → EDO. - Exemplo de EDP típica:
(equação do calor) — depende de e e usa derivadas parciais → EDP.
Dica de prova: procure o símboloou múltiplas variáveis independentes para identificar EDP; caso contrário, se vir e só , é EDO.
Resposta
EDO — equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear não homogênea com coeficientes dependentes de
.