Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
\operatorname{sen}(t) \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\cos (t) x=t^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\operatorname{sen}(t)\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\cos(t)\,x=t^{2}.
O que é pedido: classificar essa equação como EDO ou EDP.
Informações dadas que são relevantes:
  • A variável independente explícita visível é t.
  • A incógnita é x (escrita como função de t, ou seja x=x(t) — isso está implícito pela notação).
  • Aparece a derivada \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} (derivada segunda em relação a t).
  • Coeficientes são funções de t: \operatorname{sen}(t) e \cos(t).
  • O lado direito é t^{2} (termo não nulo).

Passo 2

Explicação didática dos conceitos que precisamos para decidir:
  • O que é uma EDO (equação diferencial ordinária): é uma equação que relaciona uma função desconhecida e suas derivadas ordinárias em relação a uma única variável independente (por exemplo t). A notação típica usa d/dt ou d^2/dt^2.
  • O que é uma EDP (equação diferencial parcial): é uma equação que envolve derivadas parciais de uma função que depende de duas ou mais variáveis independentes (por exemplo u(x,t)). A notação típica usa \partial/\partial x, \partial/\partial t, \partial^2/\partial x^2 etc.
  • Regra prática para identificar rapidinho numa prova: se aparecerem derivadas do tipo d/dt, d^2/dt^2 e só houver uma variável independente, é EDO. Se aparecerem símbolos \partial ou a função depender visivelmente de duas variáveis (ex.: u(x,t)) e aparecerem derivadas em relação a duas direções, é EDP.

Passo 3

Aplicando o critério à equação dada:
  • A única variável independente visível é t. A incógnita está escrita como x e a derivada é \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}, ou seja, é derivada ordinária em relação a uma única variável.
  • Não há nenhuma derivada parcial \partial nem indicação de dependência da função em mais de uma variável (por exemplo x(t,y) ou u(x,t)). Portanto trata-se de uma equação envolvendo derivações em apenas uma variável independente.
    Conclusão intermediária: é uma EDO (equação diferencial ordinária).

Passo 4

Classificação mais detalhada (útil na prova, além de só dizer EDO):
  • Ordem: o maior ordem de derivada que aparece é a segunda, pois aparece \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. Logo é de segunda ordem.
  • Linearidade: a equação é linear em x e suas derivadas porque x e x'' aparecem apenas multiplicados por funções de t (não aparecem termos como x^{2}, \sin(x), x\,x', etc.). Assim é linear.
  • Homogeneidade: há um termo não nulo no lado direito, t^{2}, portanto é não homogênea.
  • Coeficientes: os coeficientes ( \operatorname{sen}(t) e \cos(t)) dependem de t, então são coeficientes variáveis (não constantes).
Resumo técnico: é uma EDO de segunda ordem, linear, não homogênea, com coeficientes dependentes de t.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar o critério:
  • Exemplo de EDO simples: \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=0 — uma única variável independente t, derivadas ordinárias → EDO.
  • Exemplo de EDP típica: \dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} (equação do calor) — depende de x e t e usa derivadas parciais \partial → EDP.
    Dica de prova: procure o símbolo \partial ou múltiplas variáveis independentes para identificar EDP; caso contrário, se vir d/dt e só t, é EDO.

Resposta

EDO — equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear não homogênea com coeficientes dependentes de t.

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