Exercício 19. Considere o PVI
(a) Identifique
. Verifique as hipóteses do TEU em
. (b) Mostre que existe uma única solução global (definida para todo
). (c) Encontre explicitamente essa solução.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
- Enunciado: resolver o problema de valor inicial
- Pedidos:
(a) Identificare verificar as hipóteses do TEU (Teorema de Existência e Unicidade) em .
(b) Mostrar que existe uma única solução global, isto é, definida para todo.
(c) Encontrar explicitamente essa solução.
Informações relevantes dadas:
- A função do lado direito é
. - Condição inicial:
. - O domínio a verificar na parte (a) é
(toda a reta dos e todos os ).
Passo 2
Explicando o que pede o TEU e como checar suas hipóteses (passo didático).
-
O TEU em sua forma usual (Picard–Lindelöf) afirma: se
é contínua em um retângulo que contém o ponto inicial e é Lipschitz em (uniformemente em ) nesse retângulo, então existe uma única solução do PVI passando por , ao menos localmente. -
Um critério prático: se a derivada parcial
existe e é contínua num conjunto aberto contendo o ponto inicial, então é localmente Lipschitz em nesse conjunto. Por isso normalmente verificamos continuidade de e de .
Agora calculamos e verificamos para o nosso
.
-
Identificação:
.\ -
Derivada parcial em relação a
:
Esta expressão não depende de
e é uma função polinomial em
; portanto é contínua em todo
.
- A própria
é soma e produto de funções contínuas ( e ), logo é contínua em todo .
Conclusão deste passo:
e
são contínuas em
. Assim, para qualquer ponto inicial (em particular
) existem hipóteses locais do TEU satisfeitas, garantindo existência e unicidade local da solução.
Passo 3
Argumento sobre unicidade e existência global (intuição + teorema para equações lineares).
- Observação importante: a equação é linear de primeira ordem em
. Podemos reescrevê-la na forma padrão linear:
Para equações lineares da forma
com
contínuas em um intervalo (aqui
e
, contínuas em todo
), a teoria de equações lineares afirma que existe uma única solução definida em todo o intervalo onde
e
são contínuas. Como
e
são contínuas em
, a solução única é definida globalmente em
.
- Intuição adicional (evita preocupações sobre “blow-up”): para equações lineares de primeira ordem a solução pode ser escrita por uma fórmula com fator integrante; essa fórmula dá valor finito para todo
, portanto não há explosão em tempo finito e a solução é global.
Portanto já concluímos que existe uma única solução definida para todo
.
Passo 4
Resolver explicitamente o PVI usando fator integrante (método passo a passo e explicando cada etapa).
- Reescrevendo a equação na forma padrão:
Aqui
e
.
- O fator integrante
é definido por
Calcule a integral:
Portanto
- Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Verificação:
E
logo a identidade é confirmada e a equação vira
- Integramos ambos os lados de
até (uso da condição inicial em ):
Substituindo
e
:
- Isolando
:
- Comentário sobre validade global: a expressão acima é bem definida para todo
porque o exponencial é finito para todo e a integral impropriamente definida aqui é uma integral de função contínua em qualquer intervalo compacto ou , logo bem definida para qualquer . Portanto a solução explícita dada vale para todo .
Passo 5
Resumo da unicidade e fechamento pedagógico.
-
Unicidade: já garantida pelo TEU local (porque
é contínua) e pela teoria de equações lineares em (coeficientes contínuos implicam solução única estendida a todo ). A solução encontrada pelo fator integrante é a única solução que satisfaz o PVI. -
Motivação final: então temos existência local (TEU) e a forma linear da equação permite estender a solução para todo
; a fórmula explícita dada no Passo 4 é a solução global e única.
Resposta
(a)
. As hipóteses do TEU são verificadas em
porque
e
são contínuas em
.
(b) Existe uma única solução global, isto é, definida para todo
.
(c)