Exercício 19. Considere o PVI
y^{\prime}=x^{2} y+\sin x, \quad y(0)=1 .
(a) Identifique f(x, y)=x^{2} y+\sin x. Verifique as hipóteses do TEU em \mathbb{R}^{2}. (b) Mostre que existe uma única solução global (definida para todo x \in \mathbb{R} ). (c) Encontre explicitamente essa solução.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
  • Enunciado: resolver o problema de valor inicial
y' = x^{2}y + \sin x,\qquad y(0)=1.
  • Pedidos:
    (a) Identificar f(x,y)=x^{2}y+\sin x e verificar as hipóteses do TEU (Teorema de Existência e Unicidade) em \mathbb{R}^{2}.
    (b) Mostrar que existe uma única solução global, isto é, definida para todo x\in\mathbb{R}.
    (c) Encontrar explicitamente essa solução.
Informações relevantes dadas:
  • A função do lado direito é \,f(x,y)=x^{2}y+\sin x.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • O domínio a verificar na parte (a) é \mathbb{R}^{2} (toda a reta dos x e todos os y).

Passo 2

Explicando o que pede o TEU e como checar suas hipóteses (passo didático).
  • O TEU em sua forma usual (Picard–Lindelöf) afirma: se f(x,y) é contínua em um retângulo que contém o ponto inicial (x_0,y_0) e é Lipschitz em y (uniformemente em x) nesse retângulo, então existe uma única solução do PVI passando por (x_0,y_0), ao menos localmente.
  • Um critério prático: se a derivada parcial \partial f/\partial y existe e é contínua num conjunto aberto contendo o ponto inicial, então f é localmente Lipschitz em y nesse conjunto. Por isso normalmente verificamos continuidade de f e de \partial f/\partial y.
Agora calculamos e verificamos para o nosso f.
  • Identificação: \;f(x,y)=x^{2}y+\sin x.\
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}.
Esta expressão não depende de y e é uma função polinomial em x; portanto é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • A própria f(x,y)=x^{2}y+\sin x é soma e produto de funções contínuas ( x^2 y e \sin x), logo f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
Conclusão deste passo: f e \partial f/\partial y são contínuas em \mathbb{R}^{2}. Assim, para qualquer ponto inicial (em particular (0,1)) existem hipóteses locais do TEU satisfeitas, garantindo existência e unicidade local da solução.

Passo 3

Argumento sobre unicidade e existência global (intuição + teorema para equações lineares).
  • Observação importante: a equação é linear de primeira ordem em y. Podemos reescrevê-la na forma padrão linear:
y' - x^{2}y = \sin x.
Para equações lineares da forma y' + P(x)y = Q(x) com P,Q contínuas em um intervalo (aqui P(x)=-x^{2} e Q(x)=\sin x, contínuas em todo \mathbb{R}), a teoria de equações lineares afirma que existe uma única solução definida em todo o intervalo onde P e Q são contínuas. Como P e Q são contínuas em \mathbb{R}, a solução única é definida globalmente em \mathbb{R}.
  • Intuição adicional (evita preocupações sobre “blow-up”): para equações lineares de primeira ordem a solução pode ser escrita por uma fórmula com fator integrante; essa fórmula dá valor finito para todo x\in\mathbb{R}, portanto não há explosão em tempo finito e a solução é global.
Portanto já concluímos que existe uma única solução definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Resolver explicitamente o PVI usando fator integrante (método passo a passo e explicando cada etapa).
  • Reescrevendo a equação na forma padrão:
y' - x^{2}y = \sin x.
Aqui P(x) = -x^{2} e Q(x)=\sin x.
  • O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -x^{2}\,dx\right).
Calcule a integral:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
Portanto
\mu(x)=e^{-x^{3}/3}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{-x^{3}/3}y' - x^{2}e^{-x^{3}/3}y = \sin x\,e^{-x^{3}/3}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x). Verificação:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{3}/3}y(x)\bigr) = e^{-x^{3}/3}y' + \bigl(e^{-x^{3}/3}\bigr)'y.
E
\bigl(e^{-x^{3}/3}\bigr)' = e^{-x^{3}/3}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{1}\right) = -x^{2}e^{-x^{3}/3},
logo a identidade é confirmada e a equação vira
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{3}/3}y(x)\bigr) = \sin x\,e^{-x^{3}/3}.
  • Integramos ambos os lados de 0 até x (uso da condição inicial em 0):
e^{-x^{3}/3}y(x) - e^{0}y(0) = \int_{0}^{x}\sin t\,e^{-t^{3}/3}\,dt.
Substituindo y(0)=1 e e^{0}=1:
e^{-x^{3}/3}y(x) - 1 = \int_{0}^{x}\sin t\,e^{-t^{3}/3}\,dt.
  • Isolando y(x):
y(x) = e^{x^{3}/3}\left(1 + \int_{0}^{x}\sin t\,e^{-t^{3}/3}\,dt\right).
  • Comentário sobre validade global: a expressão acima é bem definida para todo x\in\mathbb{R} porque o exponencial e^{x^{3}/3} é finito para todo x e a integral impropriamente definida aqui é uma integral de função contínua em qualquer intervalo compacto [0,x] ou [x,0], logo bem definida para qualquer x. Portanto a solução explícita dada vale para todo \mathbb{R}.

Passo 5

Resumo da unicidade e fechamento pedagógico.
  • Unicidade: já garantida pelo TEU local (porque \partial f/\partial y é contínua) e pela teoria de equações lineares em \mathbb{R} (coeficientes contínuos implicam solução única estendida a todo \mathbb{R}). A solução encontrada pelo fator integrante é a única solução que satisfaz o PVI.
  • Motivação final: então temos existência local (TEU) e a forma linear da equação permite estender a solução para todo \mathbb{R}; a fórmula explícita dada no Passo 4 é a solução global e única.

Resposta

(a) f(x,y)=x^{2}y+\sin x. As hipóteses do TEU são verificadas em \mathbb{R}^{2} porque f e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2} são contínuas em \mathbb{R}^{2}.
(b) Existe uma única solução global, isto é, definida para todo x\in\mathbb{R}.
(c) y(x)=e^{x^{3}/3}\!\left(1+\int_{0}^{x}\sin t\,e^{-t^{3}/3}\,dt\right).

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