Classifique as seguintes funçöes como injetoras, sobrejetoras, bijetora ou nuīo-sobrejetora e nūo-injetora.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que a classifiquemos: injetora, sobrejetora, bijetora ou não-injetora e não-sobrejetora.
Informações relevantes fornecidas: domínio , contradomínio
e a fórmula
.
Informações relevantes fornecidas: domínio
Passo 2
O que significa ser injetora (explicação didática): uma função é injetora quando valores diferentes no domínio dão sempre valores diferentes no contradomínio. Formalmente,
é injetora se, sempre que
, então
. Uma maneira prática de provar que uma função não é injetora é encontrar dois
tais que
.
Aplicando isso aqui: observe que a função é par (ou seja,
para todo
). Tomemos um exemplo simples:
Como
mas
, temos dois pontos distintos do domínio que têm a mesma imagem. Logo,
não é injetora.
Para consolidar a ideia por outra via (aula curta sobre injetividade): se quiséssemos provar injetividade teríamos que mostrar que a equação
implica
. Simplificando dá
, ou seja
, o que permite
ou
. A segunda possibilidade (
com
) mostra precisamente a falha de injetividade para
. Portanto a conclusão do passo anterior está confirmada:
não é injetora.
Passo 3
O que significa ser sobrejetora (explicação didática): uma função é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento do domínio que o envia para ele. Formalmente,
é sobrejetora se, para todo
(aqui o contradomínio), existe
tal que
.
Estratégia prática para mostrar que não é sobrejetora: achar um
que não é imagem de nenhum
.
Passo 4
Determinar o conjunto imagem (faixa) de
: para qualquer
temos
. Então
Além disso,
, então
é realmente atingido. Portanto o conjunto imagem de
é
.
Conseqüência imediata para sobrejetividade: o contradomínio dado é
, mas a imagem é
. Existem elementos em
(por exemplo
ou
) que não pertencem à imagem. Por exemplo, a equação
leva a
, que não tem solução real, logo
não é imagem de nenhum
. Assim,
não é sobrejetora.
Passo 5
Breve revisão/insight: como a função falha em ser injetora (por ser par, exceto no zero) e também falha em ser sobrejetora (imagem
), ela não pode ser bijetora (bijetividade exige ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo). Observação útil para a prova: se quiséssemos tornar
bijetora, uma opção típica é restringir domínio e/ou contradomínio — por exemplo restringindo o domínio a
e o contradomínio a
, a função
,
fica bijetora.
Resposta
Não-injetora
Não-sobrejetora
Logo, não-bijetora
Não-sobrejetora
Logo, não-bijetora