Classifique as seguintes funçöes como injetoras, sobrejetoras, bijetora ou nuīo-sobrejetora e nūo-injetora.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f(x)=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^{2}+1 e pede que a classifiquemos: injetora, sobrejetora, bijetora ou não-injetora e não-sobrejetora.
Informações relevantes fornecidas: domínio \mathbb{R}, contradomínio \mathbb{R} e a fórmula \;f(x)=x^{2}+1.

Passo 2

O que significa ser injetora (explicação didática): uma função é injetora quando valores diferentes no domínio dão sempre valores diferentes no contradomínio. Formalmente, f é injetora se, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}), então x_{1}=x_{2}. Uma maneira prática de provar que uma função não é injetora é encontrar dois x_{1}\neq x_{2} tais que f(x_{1})=f(x_{2}).
Aplicando isso aqui: observe que a função é par (ou seja, f(-x)=f(x) para todo x). Tomemos um exemplo simples:
f(1)=1^{2}+1=2
f(-1)=(-1)^{2}+1=1+1=2
Como 1\neq -1 mas f(1)=f(-1), temos dois pontos distintos do domínio que têm a mesma imagem. Logo, \;f não é injetora.
Para consolidar a ideia por outra via (aula curta sobre injetividade): se quiséssemos provar injetividade teríamos que mostrar que a equação x_{1}^{2}+1=x_{2}^{2}+1 implica x_{1}=x_{2}. Simplificando dá x_{1}^{2}=x_{2}^{2}, ou seja (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=0, o que permite x_{1}=x_{2} ou x_{1}=-x_{2}. A segunda possibilidade ( x_{1}=-x_{2} com x_{1}\neq x_{2}) mostra precisamente a falha de injetividade para x\neq0. Portanto a conclusão do passo anterior está confirmada: \;f não é injetora.

Passo 3

O que significa ser sobrejetora (explicação didática): uma função é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento do domínio que o envia para ele. Formalmente, f é sobrejetora se, para todo y\in\mathbb{R} (aqui o contradomínio), existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.
Estratégia prática para mostrar que não é sobrejetora: achar um y\in\mathbb{R} que não é imagem de nenhum x.

Passo 4

Determinar o conjunto imagem (faixa) de f: para qualquer x\in\mathbb{R} temos x^{2}\ge 0. Então
f(x)=x^{2}+1\ge 0+1=1.
Além disso, f(0)=0^{2}+1=1, então 1 é realmente atingido. Portanto o conjunto imagem de f é [1,\infty).
Conseqüência imediata para sobrejetividade: o contradomínio dado é \mathbb{R}, mas a imagem é [1,\infty). Existem elementos em \mathbb{R} (por exemplo 0 ou -5) que não pertencem à imagem. Por exemplo, a equação x^{2}+1=0 leva a x^{2}=-1, que não tem solução real, logo 0 não é imagem de nenhum x\in\mathbb{R}. Assim, \;f não é sobrejetora.

Passo 5

Breve revisão/insight: como a função falha em ser injetora (por ser par, exceto no zero) e também falha em ser sobrejetora (imagem [1,\infty)\neq\mathbb{R}), ela não pode ser bijetora (bijetividade exige ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo). Observação útil para a prova: se quiséssemos tornar f bijetora, uma opção típica é restringir domínio e/ou contradomínio — por exemplo restringindo o domínio a [0,\infty) e o contradomínio a [1,\infty), a função f:[0,\infty)\to[1,\infty), f(x)=x^{2}+1 fica bijetora.

Resposta

Não-injetora
Não-sobrejetora
Logo, não-bijetora

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