Classifique as seguintes funçöes como injetoras, sobrejetoras, bijetora ou nuīo-sobrejetora e nūo-injetora.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que eu a classifique como injetora, sobrejetora, bijetora ou não-injetora / não-sobrejetora.
Informações relevantes: domínio = , contradomínio =
, expressão da função
.
Informações relevantes: domínio =
Passo 2
Vou testar injetividade. Definição (explicada): uma função
é injetora (ou “um-para-um”) se valores diferentes de entrada não podem produzir o mesmo valor de saída. Formalmente:
é injetora se, para quaisquer
, a implicação
vale. Isso significa: se duas saídas são iguais, então as entradas já eram iguais — não existe colisão de dois
distintos que deem a mesma imagem.
Passo 3
Prova de injetividade para
. Tome
e suponha que
Substituindo a fórmula de
,
Subtraindo
de ambos os lados,
Agora divido ambos os lados por
. Como
, a divisão é válida e obtemos
Conclusão: a implicação da definição é satisfeita, logo
é injetora. Intuição rápida: a função é uma reta com coeficiente angular
(não nulo), então não pode assumir um mesmo valor para duas abscissas diferentes.
Passo 4
Vou testar sobrejetividade. Definição (explicada):
é sobrejetora (ou “sobre”) se para todo valor
do contradomínio existe pelo menos um
no domínio tal que
. Formalmente:
tal que
. Na prática, para funções explícitas, resolvemos
em
e verificamos se a solução pertence ao domínio.
Passo 5
Prova de sobrejetividade para
. Seja
um elemento arbitrário de
. Queremos encontrar
com
Resolvendo para
,
Para qualquer
essa expressão dá um número real
, porque soma, subtração e divisão por
(que é diferente de zero) mantêm-se em
. Portanto para todo
existe um
que produz
como imagem. Conclusão:
é sobrejetora. Intuição: uma reta com coeficiente angular não nulo “atinge” todos os valores reais.
Passo 6
Como
é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, conclui-se que
é bijetora (isto é, tem correspondência um-a-um e sobre). Podemos, inclusive, escrever a inversa explícita: para
,
Se preferir usar a variável
para a inversa,
Resposta
Bijetora.