Classifique as seguintes funçöes como injetoras, sobrejetoras, bijetora ou nuīo-sobrejetora e nūo-injetora.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=-3 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=-3x+2 e pede que eu a classifique como injetora, sobrejetora, bijetora ou não-injetora / não-sobrejetora.
Informações relevantes: domínio = \mathbb{R}, contradomínio = \mathbb{R}, expressão da função f(x)=-3x+2.

Passo 2

Vou testar injetividade. Definição (explicada): uma função f é injetora (ou “um-para-um”) se valores diferentes de entrada não podem produzir o mesmo valor de saída. Formalmente: f é injetora se, para quaisquer x_1,x_2\in\mathbb{R}, a implicação
f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2
vale. Isso significa: se duas saídas são iguais, então as entradas já eram iguais — não existe colisão de dois x distintos que deem a mesma imagem.

Passo 3

Prova de injetividade para f. Tome x_1,x_2\in\mathbb{R} e suponha que
f(x_1)=f(x_2).
Substituindo a fórmula de f,
-3x_1+2=-3x_2+2.
Subtraindo 2 de ambos os lados,
-3x_1=-3x_2.
Agora divido ambos os lados por -3. Como -3\neq0, a divisão é válida e obtemos
x_1=x_2.
Conclusão: a implicação da definição é satisfeita, logo f é injetora. Intuição rápida: a função é uma reta com coeficiente angular -3 (não nulo), então não pode assumir um mesmo valor para duas abscissas diferentes.

Passo 4

Vou testar sobrejetividade. Definição (explicada): f é sobrejetora (ou “sobre”) se para todo valor y do contradomínio existe pelo menos um x no domínio tal que f(x)=y. Formalmente: \forall y\in\mathbb{R},\\ \exists x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Na prática, para funções explícitas, resolvemos f(x)=y em x e verificamos se a solução pertence ao domínio.

Passo 5

Prova de sobrejetividade para f. Seja y um elemento arbitrário de \mathbb{R}. Queremos encontrar x\in\mathbb{R} com
y=f(x)=-3x+2.
Resolvendo para x,
-3x = y-2,
x = \frac{y-2}{-3} = -\frac{y-2}{3}.
Para qualquer y\in\mathbb{R} essa expressão dá um número real x, porque soma, subtração e divisão por 3 (que é diferente de zero) mantêm-se em \mathbb{R}. Portanto para todo y existe um x\in\mathbb{R} que produz y como imagem. Conclusão: f é sobrejetora. Intuição: uma reta com coeficiente angular não nulo “atinge” todos os valores reais.

Passo 6

Como f é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, conclui-se que f é bijetora (isto é, tem correspondência um-a-um e sobre). Podemos, inclusive, escrever a inversa explícita: para y\in\mathbb{R},
f^{-1}(y)=-\frac{y-2}{3}.
Se preferir usar a variável x para a inversa,
f^{-1}(x)=-\frac{x-2}{3}.

Resposta

Bijetora.

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