Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{5-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar
\int_{1}^{5}\frac{1}{\sqrt{5 - x}}\,dx
como convergente ou divergente. Vamos tratar isto como uma integral imprópria, pois o integrando fica singular quando x\to5^-.

Passo 2

Para lidar com a singularidade em x=5, reescrevemos a integral como limite:
\int_{1}^{5}\frac{1}{\sqrt{5 - x}}\,dx = \lim_{b\to5^-}\int_{1}^{b}\frac{1}{\sqrt{5 - x}}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição u = 5 - x, de modo que du = -dx. Quando x=1, u=4; quando x=b, u=5 - b. A integral fica
\int_{1}^{b}\frac{1}{\sqrt{5 - x}}\,dx = \int_{u=4}^{u=5-b}\frac{1}{\sqrt{u}}\,(-du) = \int_{u=5-b}^{u=4}u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^{-1/2}:
\int u^{-1/2}\,du = 2\,u^{1/2}.
Logo,
\int_{5-b}^{4}u^{-1/2}\,du = \Bigl[2\sqrt{u}\Bigr]_{u=5-b}^{u=4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{5-b} = 4 - 2\sqrt{5-b}.
Agora tomamos o limite b\to5^-:
\lim_{b\to5^-}\bigl(4 - 2\sqrt{5-b}\bigr) = 4 - 2\cdot0 = 4,
que é finito.

Passo 5

Como o valor da integral imprópria sai finito, concluímos que a integral converge (e seu valor é 4).

Resposta

A integral é convergente.

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