Determine o valor das seguintes integrais.
\int_{1}^{4} \frac{x}{\sqrt{2+4 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{4} \frac{x}{\sqrt{2+4x}}\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais definidas, e vamos usar a técnica de substituição (mudança de variável).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + 4x.
Então
du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4},
e também expressamos x em função de u:
x = \frac{u - 2}{4}.

Passo 3

Quando x varia de 1 a 4, a nova variável varia de
u(1) = 2 + 4\cdot1 = 6 \quad\text{até}\quad u(4) = 2 + 4\cdot4 = 18.é
Substituindo na integral, obtemos
\int_{1}^{4} \frac{x}{\sqrt{2+4x}}\,dx = \int_{6}^{18} \frac{\frac{u-2}{4}}{\sqrt{u}} \;\frac{du}{4} = \int_{6}^{18} \frac{u-2}{16\,\sqrt{u}}\,du.

Passo 4

Separando e simplificando o integrando:
\frac{u-2}{16\,\sqrt{u}} = \frac{1}{16}\Bigl(u^{1-\tfrac12}-2\,u^{-\tfrac12}\Bigr) = \frac{1}{16}\Bigl(u^{\tfrac12}-2\,u^{-\tfrac12}\Bigr).
Integramos termo a termo:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}, \quad \int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}.
Logo, uma primitiva é
F(u) = \frac{1}{16}\Bigl(\tfrac{2}{3}\,u^{\tfrac32}-2\cdot2\,u^{\tfrac12}\Bigr) = \frac{1}{8}\Bigl(\tfrac{1}{3}u^{\tfrac32}-2\,u^{\tfrac12}\Bigr).

Passo 5

Avaliaremos de u=6 até u=18. Note que
u^{\tfrac12}\big|_{6}^{18}: \quad \sqrt{18}=3\sqrt2,\quad \sqrt6,
u^{\tfrac32}\big|_{6}^{18}: \quad 18^{\tfrac32}=18\sqrt{18}=54\sqrt2,\quad 6^{\tfrac32}=6\sqrt6.
Então
F(18) = \frac{1}{8}\Bigl(\tfrac{1}{3}\,54\sqrt2 -2\cdot3\sqrt2\Bigr) = \frac{1}{8}\bigl(18\sqrt2 -6\sqrt2\bigr) = \frac{12\sqrt2}{8} = \frac{3\sqrt2}{2},
F(6) = \frac{1}{8}\Bigl(\tfrac{1}{3}\,6\sqrt6 -2\sqrt6\Bigr) = \frac{1}{8}\bigl(2\sqrt6-2\sqrt6\bigr) =0.
Logo a integral vale
F(18)-F(6) = \frac{3\sqrt2}{2}-0 = \frac{3\sqrt2}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}

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