Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{1}\left(x+\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral impropria
\int_{0}^{1}\Bigl(x+\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)\,dx
como convergente ou divergente. O único ponto de descontinuidade do integrando é em x=0, devido ao termo \tfrac1{\sqrt[3]{x}}=x^{-1/3}. Vamos usar o critério da integral-padrão \displaystyle\int_{0}^{\delta}x^{p}\,dx (converge se e somente se p>-1).

Passo 2

Analisamos cada termo perto de x=0:
x corresponde a x^{1}, com p=1.
\sqrt{x} corresponde a x^{1/2}, com p=\tfrac12.
\dfrac1{\sqrt[3]{x}} corresponde a x^{-1/3}, com p=-\tfrac13.

Passo 3

Aplicando o critério \displaystyle\int_{0}^{\delta}x^{p}\,dx converge se p>-1:
1>-1,\quad \tfrac12>-1,\quad -\tfrac13>-1,
logo cada termo isoladamente gera uma integral convergente em [0,1].

Passo 4

Como cada parte é convergente em torno de x=0 e a soma de funções integráveis é integrável, concluímos que
\int_{0}^{1}\Bigl(x+\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)\,dx
é convergente.

Resposta

A integral é convergente.

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