Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{9} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
\int_{0}^{9}\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx
com ponto de possível singularidade em x=0. Precisamos verificar se a área sob a curva é finita (convergente) ou infinita (divergente).

Passo 2

Para tratar a singularidade em x=0, fazemos a mudança de variável
t = \sqrt{x},\quad x = t^{2},\quad dx = 2t\,dt.
Quando x vai de 0 a 9, t vai de 0 a 3. Substituindo na integral:
\int_{0}^{9}\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{3}\frac{e^{t}}{t}\cdot 2t\,dt = \int_{0}^{3}2e^{t}\,dt.

Passo 3

A integral
\int_{0}^{3}2e^{t}\,dt
é de uma função contínua em [0,3], logo seu valor é finito (exatamente 2(e^{3}-1)). Assim, a integral original converge.

Resposta

Convergente.

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