Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\pi} \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{0}^{\pi} \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\,dx
como convergente ou divergente. Aqui a questão de matéria é “integrais impróprias” e precisamos verificar o comportamento da função \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}
no ponto onde o denominador fica zero, isto é, quando \sin x=1 (ou seja x=\tfrac\pi2).

Passo 2

Façamos a mudança de variável
u = 1 - \sin x, \quad du = -\cos x\,dx.
Então
\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\,dx = \frac{\cos x}{\sqrt{u}}\,dx = -\frac{1}{\sqrt{u}}\,du.
Quando x vai de 0 a \pi, a variável u vai de 1 até 1, passando por 0 em x=\tfrac\pi2. A singularidade em x=\tfrac\pi2 corresponde a u=0.

Passo 3

Quebramos a integral em duas partes em torno de x=\tfrac\pi2, o que em u equivale a partir de u=1 até u=0 e depois de u=0 até u=1:
\int_{0}^{\pi}\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\,dx =\int_{u=1}^{u=0}\bigl(-u^{-\tfrac12}\bigr)\,du +\int_{u=0}^{u=1}\bigl(-u^{-\tfrac12}\bigr)\,du.
Cada uma dessas integrais é do tipo \displaystyle\int_{0}^{1}u^{-\tfrac12}du,
que sabemos valer
\int_{0}^{1}u^{-\tfrac12}du =\Bigl[2u^{\tfrac12}\Bigr]_{0}^{1} =2.
Portanto
\int_{u=1}^{0}(-u^{-\tfrac12})\,du =2, \quad \int_{u=0}^{1}(-u^{-\tfrac12})\,du =-2,
ambas finitas.

Passo 4

Visto que cada parte imprópria em u=0 converge (a singularidade é como u^{-1/2}, cujo integral em 0 é finito) e o resultado total é 2 +(-2)=0, concluímos que a integral original é convergente.

Resposta

A integral é convergente.

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