Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{3}^{6} \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2}-9}} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{3}^{6} \frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}\;dx
como convergente ou divergente. O conteúdo aqui é análise de singularidade em um extremo de integração e uso do teste- p para integráveis do tipo (x-a)^{-\alpha}.

Passo 2

Identificamos que o integrando é contínuo para x>3, mas em x=3 ocorre singularidade porque \sqrt{x^{2}-9}=0. Não há problema em x=6, pois \sqrt{6^{2}-9}=\sqrt{27}>0. Logo, só precisamos estudar o comportamento quando x\to3^+.

Passo 3

Para x próximo de 3, escrevemos x-3=t com t\to0^+. Então
\sqrt{x^{2}-9} =\sqrt{(x-3)(x+3)} \;\approx\;\sqrt{6\,t} =\sqrt{6}\,\sqrt{t},
e x^{3}\approx3^{3}=27. Logo, para x\to3^+,
\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}} \;\approx\;\frac{1}{27\,\sqrt{6}}\;t^{-\tfrac12}.

Passo 4

Usamos o teste- p: a integral
\int_{0}^{\delta} t^{-\tfrac12}\,dt
converge se e só se \tfrac12<1. Aqui \alpha=\tfrac12<1, portanto
\int_{3}^{6}\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}\,dx
é convergente.

Resposta

A integral é convergente.

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