Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{-2}^{+\infty}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx
Note que temos duas fontes de impropriedade:
  1. A função \frac1{(x+1)^2} fica infinita em x=-1, que está dentro do intervalo de integração.
  2. O limite superior é +\infty.
    Para estudar convergência, vamos dividir em duas integrais próprias através de pontos de rottura.

Passo 2

Particionamos em
\int_{-2}^{+\infty}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \underbrace{\lim_{a\to -1^-}\int_{-2}^{a}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx}_{\text{singularidade em }x=-1} \;+\; \underbrace{\lim_{R\to +\infty}\int_{-1}^{R}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx}_{\text{comportamento em }+\infty}\,.
Se qualquer uma das duas partes divergir, o integral original diverge.

Passo 3

Vamos analisar a parte próxima à singularidade x=-1:
\int_{-2}^{a}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx,
com a\to -1^-. A primitiva de \frac1{(x+1)^2} é
\int\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x+1}.
Logo,
\int_{-2}^{a}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{x+1}\Bigr]_{x=-2}^{x=a} = \bigl(-\tfrac{1}{a+1}\bigr)\;-\;\bigl(-\tfrac{1}{(-2)+1}\bigr) = -\frac{1}{a+1}-\bigl(-1\bigr) = -\frac{1}{a+1}+1.
Quando a\to -1^-, a+1\to 0^- e -\tfrac1{a+1}\to +\infty.

Passo 4

Já que
\lim_{a\to -1^-}\int_{-2}^{a}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = +\infty,
essa parte diverge. Não precisamos nem checar o comportamento em +\infty: a integral total diverge.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{-2}^{+\infty}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx é divergente.

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