Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x}\,dx
ou seja, verificar se ela converge ou diverge. Vamos analisar o comportamento do integrando em x=0 e em x\to+\infty e, em seguida, calcular (opcionalmente) para confirmar.

Passo 2

Comportamento em x=0: como e^{-x}\to1, temos x e^{-x}\sim x. E
\int_{0}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} < \infty,
portanto não há problema de divergência na vizinhança de zero.

Passo 3

Comportamento em x\to+\infty: o fator exponencial e^{-x} decai mais rápido que qualquer potência de x, de modo que a integral tende a convergir. Para confirmar, calculamos por partes: escolha u = x, dv = e^{-x}dx, logo du = dx e v = -e^{-x}. Então
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x}\,dx = \Bigl[-x e^{-x}\Bigr]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx = \bigl(0-0\bigr) + \Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{0}^{+\infty} = 1.
O resultado finito confirma que a integral é convergente.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{0}^{+\infty} x e^{-x}\,dx é convergente.

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