Classifique as seguintes proposições quanto a tautologia, contradição ou contigência.
p \longrightarrow(p \vee q) \vee r

Passo 1

O enunciado pede para classificar a proposição quanto a tautologia, contradição ou contigência. A proposição dada é
p \longrightarrow (p \vee q) \vee r.
Vou trabalhar para decidir se essa fórmula é sempre verdadeira (tautologia), sempre falsa (contradição) ou verdadeira em algumas valorações e falsa em outras (contingência).

Passo 2

Uma ferramenta padrão e muito útil é a equivalência entre implicação e disjunção:
A \to B \equiv \neg A \vee B.
Explico rapidinho: a implicação A\to B só é falsa quando A é verdadeira e B é falsa; escrever isso como \neg A \vee B significa “ou A é falsa, ou B é verdadeira”, que tem exatamente a mesma tabela de verdade.

Passo 3

Aplicando essa equivalência à nossa fórmula, com A=p e B=(p\vee q)\vee r, obtemos:
p \longrightarrow (p \vee q) \vee r \equiv \neg p \vee \big((p\vee q)\vee r\big).

Passo 4

Usando associatividade e comutatividade da disjunção (podemos juntar tudo num grande “ou”), reescrevemos:
\neg p \vee \big((p\vee q)\vee r\big) \equiv \neg p \vee p \vee q \vee r.
Agora observe a parte \neg p \vee p: pela lei do terceiro excluído, \neg p \vee p é sempre verdadeira (é uma tautologia por si só).

Passo 5

Quando numa disjunção aparece uma proposição sempre verdadeira, a disjunção inteira é sempre verdadeira, porque T \vee X = T para qualquer X. Portanto
\neg p \vee p \vee q \vee r
é verdadeira para qualquer valoração de p,q,r. Logo a fórmula original é verdadeira em todas as valorações possíveis.

Passo 6

Verificação por casos (intuição rápida):
  • Se p é verdadeira, então p\vee q\vee r é verdadeira (já que contém p), então p\to(p\vee q\vee r) é verdadeira.
  • Se p é falsa, então p\to(\cdots) é verdadeira por vacuidade da implicação.
    Em ambos os casos a fórmula dá verdadeiro, confirmando que é sempre verdadeira.

Resposta

Tautologia

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