Classifique as seguintes proposições quanto a tautologia, contradição ou contigência.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a proposição quanto a tautologia, contradição ou contigência. A proposição dada é
.
Vou trabalhar para decidir se essa fórmula é sempre verdadeira (tautologia), sempre falsa (contradição) ou verdadeira em algumas valorações e falsa em outras (contingência).
Vou trabalhar para decidir se essa fórmula é sempre verdadeira (tautologia), sempre falsa (contradição) ou verdadeira em algumas valorações e falsa em outras (contingência).
Passo 2
Uma ferramenta padrão e muito útil é a equivalência entre implicação e disjunção:
Explico rapidinho: a implicação
só é falsa quando
é verdadeira e
é falsa; escrever isso como
significa “ou
é falsa, ou
é verdadeira”, que tem exatamente a mesma tabela de verdade.
Passo 3
Aplicando essa equivalência à nossa fórmula, com
e
, obtemos:
Passo 4
Usando associatividade e comutatividade da disjunção (podemos juntar tudo num grande “ou”), reescrevemos:
Agora observe a parte
: pela lei do terceiro excluído,
é sempre verdadeira (é uma tautologia por si só).
Passo 5
Quando numa disjunção aparece uma proposição sempre verdadeira, a disjunção inteira é sempre verdadeira, porque
para qualquer
. Portanto
é verdadeira para qualquer valoração de
. Logo a fórmula original é verdadeira em todas as valorações possíveis.
Passo 6
Verificação por casos (intuição rápida):
- Se
é verdadeira, então é verdadeira (já que contém ), então é verdadeira. - Se
é falsa, então é verdadeira por vacuidade da implicação.
Em ambos os casos a fórmula dá verdadeiro, confirmando que é sempre verdadeira.
Resposta
Tautologia