Classifique as seguintes proposições quanto a tautologia, contradição ou contigência.
Passo 1
O enunciado pede: classificar a proposição quanto a tautologia, contradição ou contingência. A fórmula dada é
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A fórmula inteira é uma única proposição composta com bicondicionais (
) e negação ( ). - Não há outros dados numéricos ou restrições; a classificação é sobre todos os possíveis valores de
.
Passo 2
Definições e lembretes que vamos usar (explicadinhos):
- Tautologia: uma fórmula que é verdadeira para todas as atribuições de verdade das suas proposições atômicas.
- Contradição: verdadeira para nenhuma atribuição (sempre falsa).
- Contingência: verdadeira para algumas atribuições e falsa para outras.
Sobre bicondicional e equivalências úteis:
- A definição útil do bicondicional é:
é equivalente a . Em palavras: o bicondicional é verdadeiro exatamente quando e têm o mesmo valor de verdade. - Outra observação simples:
é sempre falso (é uma contradição), portanto equivalente à constante falsa. Vou anotar a negação como (equivalente ao do enunciado).
Passo 3
Simplificar a subfórmula
.
Pelo ponto anterior, é sempre falso. Então podemos substituir:
Pelo ponto anterior,
Assim a fórmula original fica
Passo 4
Mostrar que
é logicamente equivalente a
.
Usando a ideia do bicondicional como “mesmo valor de verdade”:
Usando a ideia do bicondicional como “mesmo valor de verdade”:
- Se
é verdadeiro ( ), então é falso, porque e diferem. - Se
é falso ( ), então é verdadeiro, porque e coincidem.
Isto coincide exatamente com a tabela de verdade de. Portanto
Passo 5
Substituindo a equivalência do passo anterior na fórmula reduzida:
Passo 6
Analisar
.
Qualquer fórmula da forma (onde
é qualquer subfórmula) é sempre verdadeira, porque uma proposição tem sempre o mesmo valor que ela mesma. Usando a definição do bicondicional:
é equivalente a
, que é sempre verdadeiro. Portanto
é verdadeira para
e para
.
Qualquer fórmula da forma
Passo 7
Conclusão lógica: a fórmula original é verdadeira para todas as atribuições de verdade de
. Isso significa que a fórmula é uma tautologia. (Se preferir conferir, pode montar a tabela de verdade com as duas linhas
e
e verá sempre valor V.)
Resposta
Tautologia