Classifique as seguintes proposições quanto a tautologia, contradição ou contigência.
(p \longleftrightarrow p \wedge \sim p) \longleftrightarrow \sim p

Passo 1

O enunciado pede: classificar a proposição quanto a tautologia, contradição ou contingência. A fórmula dada é \,(p \longleftrightarrow p \wedge \sim p) \longleftrightarrow \sim p\,.
Informações relevantes do enunciado:
  • A fórmula inteira é uma única proposição composta com bicondicionais ( \longleftrightarrow) e negação ( \sim).
  • Não há outros dados numéricos ou restrições; a classificação é sobre todos os possíveis valores de \,p.

Passo 2

Definições e lembretes que vamos usar (explicadinhos):
  • Tautologia: uma fórmula que é verdadeira para todas as atribuições de verdade das suas proposições atômicas.
  • Contradição: verdadeira para nenhuma atribuição (sempre falsa).
  • Contingência: verdadeira para algumas atribuições e falsa para outras.
Sobre bicondicional e equivalências úteis:
  • A definição útil do bicondicional é: \,A \longleftrightarrow B\, é equivalente a \,(A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B). Em palavras: o bicondicional é verdadeiro exatamente quando A e B têm o mesmo valor de verdade.
  • Outra observação simples: \,A \wedge \neg A\, é sempre falso (é uma contradição), portanto equivalente à constante falsa. Vou anotar a negação como \,\neg (equivalente ao \sim do enunciado).

Passo 3

Simplificar a subfórmula \,p \wedge \sim p\,.
Pelo ponto anterior, \,p \wedge \neg p\, é sempre falso. Então podemos substituir:
p \wedge \neg p \equiv \text{F} .
Assim a fórmula original fica
\bigl(p \longleftrightarrow (p \wedge \neg p)\bigr) \longleftrightarrow \neg p \equiv \bigl(p \longleftrightarrow \text{F}\bigr) \longleftrightarrow \neg p .

Passo 4

Mostrar que \,p \longleftrightarrow \text{F}\, é logicamente equivalente a \,\neg p\,.
Usando a ideia do bicondicional como “mesmo valor de verdade”:
  • Se p é verdadeiro ( p=\text{V}), então p \longleftrightarrow \text{F} é falso, porque \text{V} e \text{F} diferem.
  • Se p é falso ( p=\text{F}), então p \longleftrightarrow \text{F} é verdadeiro, porque \text{F} e \text{F} coincidem.
    Isto coincide exatamente com a tabela de verdade de \neg p. Portanto
p \longleftrightarrow \text{F} \equiv \neg p .

Passo 5

Substituindo a equivalência do passo anterior na fórmula reduzida:
\bigl(p \longleftrightarrow (p \wedge \neg p)\bigr) \longleftrightarrow \neg p \equiv \bigl(p \longleftrightarrow \text{F}\bigr) \longleftrightarrow \neg p \equiv \neg p \longleftrightarrow \neg p .

Passo 6

Analisar \,\neg p \longleftrightarrow \neg p\,.
Qualquer fórmula da forma Q \longleftrightarrow Q (onde Q é qualquer subfórmula) é sempre verdadeira, porque uma proposição tem sempre o mesmo valor que ela mesma. Usando a definição do bicondicional: (Q\wedge Q)\vee(\neg Q\wedge\neg Q) é equivalente a Q\vee\neg Q, que é sempre verdadeiro. Portanto \neg p \longleftrightarrow \neg p é verdadeira para p=\text{V} e para p=\text{F}.

Passo 7

Conclusão lógica: a fórmula original é verdadeira para todas as atribuições de verdade de \,p. Isso significa que a fórmula é uma tautologia. (Se preferir conferir, pode montar a tabela de verdade com as duas linhas p=\text{V} e p=\text{F} e verá sempre valor V.)

Resposta

Tautologia

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