Classifique as seguintes proposições quanto a tautologia, contradição ou contigência.
p \vee q \longrightarrow p \wedge q

Passo 1

O enunciado pede para classificar a proposição lógica
p \vee q \longrightarrow p \wedge q
quanto a ser uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
As informações que temos são apenas a fórmula acima e que p e q são proposições lógicas (podem ser verdadeiras ou falsas).
Para analisar, vamos considerar todas as quatro valorações possíveis para (p,q):
(p,q)\in\{(V,V),\,(V,F),\,(F,V),\,(F,F)\}.

Passo 2

Primeiro, clarificar o significado dos conectivos (aulas rápidas):
  • \vee (ou): A\vee B é verdadeira se pelo menos uma das proposições A ou B for verdadeira; é falsa só quando ambas são falsas.
  • \wedge (e): A\wedge B é verdadeira somente quando A e B são verdadeiras simultaneamente; caso contrário é falsa.
  • \longrightarrow (implicação material): A\longrightarrow B é falsa apenas quando A é verdadeira e B é falsa; em todas as outras combinações é verdadeira. Uma forma prática é lembrar a equivalência
A\longrightarrow B \equiv \neg A \vee B.
Definições de classificação:
  • Tautologia: a fórmula é verdadeira para todas as valorações de p,q.
  • Contradição: a fórmula é falsa para todas as valorações.
  • Contingência: a fórmula é verdadeira para algumas valorações e falsa para outras.

Passo 3

Vamos montar a tabela passo a passo. Primeiro calculamos \,p\vee q\, para cada valoração:
\begin{array}{c|c|c} p & q & p\vee q\\hline V & V & V\\\ V & F & V\\\ F & V & V\\\ F & F & F \end{array}

Passo 4

Agora calculamos \,p\wedge q\, para cada valoração:
\begin{array}{c|c|c} p & q & p\wedge q\\hline V & V & V\\\ V & F & F\\\ F & V & F\\\ F & F & F \end{array}

Passo 5

Agora avaliamos a implicação (p\vee q)\longrightarrow(p\wedge q) usando que é falsa só quando o antecedente é V e o consequente é F. Juntando as colunas:
\begin{array}{c|c|c|c|c} p & q & p\vee q & p\wedge q & (p\vee q)\longrightarrow(p\wedge q)\\hline V & V & V & V & V\\\ V & F & V & F & F\\\ F & V & V & F & F\\\ F & F & F & F & V \end{array}
Explicando linha a linha, em palavras:
  • Se p=V,q=V: antecedente V, consequente V → implicação V.
  • Se p=V,q=F: antecedente V, consequente F → implicação F.
  • Se p=F,q=V: antecedente V, consequente F → implicação F.
  • Se p=F,q=F: antecedente F, consequente F → implicação V (porque implicação com antecedente falso é verdadeira).

Passo 6

Interpretação e conclusão: a fórmula resulta em V nas linhas (V,V) e (F,F), e em F nas linhas (V,F) e (F,V). Ou seja, é verdadeira em algumas valorações e falsa em outras. Portanto não é tautologia (não é sempre verdadeira) e nem contradição (não é sempre falsa): é uma contingência.
Bônus (forma alternativa, útil na prova): usando equivalências
p\vee q \longrightarrow p\wedge q \equiv \neg(p\vee q)\vee(p\wedge q).
Pela Lei de De Morgan \neg(p\vee q)\equiv\neg p\wedge\neg q, então
\neg(p\vee q)\vee(p\wedge q)\equiv(\neg p\wedge\neg q)\vee(p\wedge q),
que é exatamente a definição do bicondicional p\leftrightarrow q. Assim a fórmula é logicamente equivalente a p\leftrightarrow q, que é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor e falsa quando têm valores distintos — novamente mostra que o resultado é verdadeiro em algumas valorações e falso noutras, isto é, contingência.

Resposta

Contingência

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