Classifique as seguintes proposições quanto a tautologia, contradição ou contigência.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a proposição lógica
quanto a ser uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
As informações que temos são apenas a fórmula acima e que e
são proposições lógicas (podem ser verdadeiras ou falsas).
Para analisar, vamos considerar todas as quatro valorações possíveis para :
As informações que temos são apenas a fórmula acima e que
Para analisar, vamos considerar todas as quatro valorações possíveis para
Passo 2
Primeiro, clarificar o significado dos conectivos (aulas rápidas):
-
(ou): é verdadeira se pelo menos uma das proposições ou for verdadeira; é falsa só quando ambas são falsas. -
(e): é verdadeira somente quando e são verdadeiras simultaneamente; caso contrário é falsa. -
(implicação material): é falsa apenas quando é verdadeira e é falsa; em todas as outras combinações é verdadeira. Uma forma prática é lembrar a equivalência
Definições de classificação:
- Tautologia: a fórmula é verdadeira para todas as valorações de
. - Contradição: a fórmula é falsa para todas as valorações.
- Contingência: a fórmula é verdadeira para algumas valorações e falsa para outras.
Passo 3
Vamos montar a tabela passo a passo. Primeiro calculamos
para cada valoração:
Passo 4
Agora calculamos
para cada valoração:
Passo 5
Agora avaliamos a implicação
usando que é falsa só quando o antecedente é
e o consequente é
. Juntando as colunas:
Explicando linha a linha, em palavras:
- Se
: antecedente , consequente → implicação . - Se
: antecedente , consequente → implicação . - Se
: antecedente , consequente → implicação . - Se
: antecedente , consequente → implicação (porque implicação com antecedente falso é verdadeira).
Passo 6
Interpretação e conclusão: a fórmula resulta em
nas linhas
e
, e em
nas linhas
e
. Ou seja, é verdadeira em algumas valorações e falsa em outras. Portanto não é tautologia (não é sempre verdadeira) e nem contradição (não é sempre falsa): é uma contingência.
Bônus (forma alternativa, útil na prova): usando equivalências
Pela Lei de De Morgan
, então
que é exatamente a definição do bicondicional
. Assim a fórmula é logicamente equivalente a
, que é verdadeira quando
e
têm o mesmo valor e falsa quando têm valores distintos — novamente mostra que o resultado é verdadeiro em algumas valorações e falso noutras, isto é, contingência.
Resposta
Contingência