Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para classificá‑la como convergente ou divergente, com justificativa. Note que o termo correspondente a
é
, ou seja, não está definido. Logo a série só faz sentido a partir de
. Como tirar ou alterar um número finito de termos não muda a convergência, podemos estudar a série
A pergunta é: essa série converge ou diverge?
Passo 2
Ideia do método: comparar os termos com uma série conhecida. Para grandes
a expressão
é bem próxima de
, então
A série
é uma série
- (p‑série) com
. Vou usar o teste de comparação direta: mostrar uma desigualdade simples entre os termos que permita concluir.
Passo 3
Mostrando a desigualdade e verificando sinal dos termos. Para todo
vale
. Como o numerador
é positivo para
, ao dividir por denominadores positivos obtemos
Portanto os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série
, e ambos são positivos.
Passo 4
Lembrando o resultado sobre
-séries: a série
converge se, e somente se,
. No nosso caso
, logo a série
é divergente. (Uma justificativa rápida: pelo teste da integral,
, logo a série diverge.)
Pelo teste de comparação direta: como para
temos
e
diverge, então a série
também diverge.
Passo 5
Observação final e conclusão prática: o problema original começou em
mas esse termo é indefinido; ao retirar o termo
(ou seja, considerar a série a partir de
) não mudamos a questão de convergência. Assim a série dada diverge.
Resposta
Divergente.