Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}
e pede para classificá‑la como convergente ou divergente, com justificativa. Note que o termo correspondente a n=1 é \dfrac{\sqrt{1}}{1-1}=\dfrac{1}{0}, ou seja, não está definido. Logo a série só faz sentido a partir de n=2. Como tirar ou alterar um número finito de termos não muda a convergência, podemos estudar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}.
A pergunta é: essa série converge ou diverge?

Passo 2

Ideia do método: comparar os termos com uma série conhecida. Para grandes n a expressão n-1 é bem próxima de n, então
\frac{\sqrt{n}}{n-1}\quad\text{tem comportamento parecido com}\quad\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
A série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n}} é uma série p- (p‑série) com p=\tfrac12. Vou usar o teste de comparação direta: mostrar uma desigualdade simples entre os termos que permita concluir.

Passo 3

Mostrando a desigualdade e verificando sinal dos termos. Para todo n\ge2 vale n-1\le n. Como o numerador \sqrt{n} é positivo para n\ge2, ao dividir por denominadores positivos obtemos
\frac{\sqrt{n}}{n-1}\ge \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} \qquad (n\ge2).
Portanto os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n}}, e ambos são positivos.

Passo 4

Lembrando o resultado sobre p-séries: a série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\tfrac12\le1, logo a série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}
é divergente. (Uma justificativa rápida: pelo teste da integral, \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx = \lim_{t\to\infty} 2\sqrt{t}-2 = \infty, logo a série diverge.)
Pelo teste de comparação direta: como para n\ge2 temos \dfrac{\sqrt{n}}{n-1}\ge\dfrac{1}{\sqrt{n}} e \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge, então a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}
também diverge.

Passo 5

Observação final e conclusão prática: o problema original começou em n=1 mas esse termo é indefinido; ao retirar o termo n=1 (ou seja, considerar a série a partir de n=2) não mudamos a questão de convergência. Assim a série dada diverge.

Resposta

Divergente.

Exercícios relacionados