(
pontos) Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule sua soma. Justifique suas respostas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se classificar a série como convergente ou divergente.
- Se for convergente, pede-se calcular a sua soma.
- A série dada é
.
Passo 2
Definição e estratégia (conceito que vamos usar).
- Uma série
converge se a sequência das somas parciais tem limite finito quando . - Uma técnica muito útil é escrever as somas parciais explicitamente e ver se há cancelamentos entre termos — isso chama-se “série telescópica”. Vou aplicar isso aqui explicando passo a passo.
Passo 3
Escrever a soma parcial e observar os termos.
- Definimos a soma parcial de ordem
:
- Agora escrevemos os primeiros termos para ver o padrão:
Passo 4
Fazer os cancelamentos (telescoping) e simplificar
.
- Observando a soma escrita, note que muitos termos se cancelam:
cancela com , cancela com , e assim por diante. - Depois dos cancelamentos sobra apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
Passo 5
Calcular o limite das somas parciais quando
.
- A série converge se
existe e é finito. - Temos
- Agora justifico que
. Uma forma direta: dado , escolha tal que ; então . Portanto o limite é . - Assim
Passo 6
Conclusão sobre convergência e soma.
- A sequência das somas parciais tende para
, logo a série converge. - Como os termos de soma parcial são positivos e a soma parcial tem limite finito, não há ambiguidade sobre convergência absoluta aqui (os termos da série original são todos positivos), mas o ponto principal é que a série é telescópica e converge para
.