( \mathbf{1 , 5} pontos) Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule sua soma. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se classificar a série como convergente ou divergente.
  • Se for convergente, pede-se calcular a sua soma.
  • A série dada é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).

Passo 2

Definição e estratégia (conceito que vamos usar).
  • Uma série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais \displaystyle S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n tem limite finito quando N\to\infty.
  • Uma técnica muito útil é escrever as somas parciais explicitamente e ver se há cancelamentos entre termos — isso chama-se “série telescópica”. Vou aplicar isso aqui explicando passo a passo.

Passo 3

Escrever a soma parcial e observar os termos.
  • Definimos a soma parcial de ordem N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).
  • Agora escrevemos os primeiros termos para ver o padrão:
S_N=\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right).

Passo 4

Fazer os cancelamentos (telescoping) e simplificar S_N.
  • Observando a soma escrita, note que muitos termos se cancelam: -\frac{1}{\sqrt{2}} cancela com +\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} cancela com +\frac{1}{\sqrt{3}}, e assim por diante.
  • Depois dos cancelamentos sobra apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
S_N = \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{N+1}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{N+1}}.

Passo 5

Calcular o limite das somas parciais quando N\to\infty.
  • A série converge se \displaystyle \lim_{N\to\infty} S_N existe e é finito.
  • Temos
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{N+1}}\right).
  • Agora justifico que \displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{N+1}}=0. Uma forma direta: dado \varepsilon>0, escolha N tal que N+1>\frac{1}{\varepsilon^2}; então \frac{1}{\sqrt{N+1}}<\varepsilon. Portanto o limite é 0.
  • Assim
\lim_{N\to\infty} S_N = 1 - 0 = 1.

Passo 6

Conclusão sobre convergência e soma.
  • A sequência das somas parciais tende para 1, logo a série converge.
  • Como os termos de soma parcial são positivos e a soma parcial tem limite finito, não há ambiguidade sobre convergência absoluta aqui (os termos da série original são todos positivos), mas o ponto principal é que a série é telescópica e converge para 1.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1

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