( \mathbf{1 , 5} pontos) Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule sua soma. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a série como convergente ou divergente e, se for convergente, calcule sua soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é \dfrac{(-3)^{n-1}}{4^{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • Preciso decidir convergência/divergência e, em caso de convergência, encontrar a soma numérica da série.

Passo 2

Quero tentar reconhecer a série como uma série geométrica, porque séries geométricas têm critério de convergência simples e fórmula fechada para a soma. Vou manipular o termo geral para colocá-lo na forma clássica de uma geométrica.
Começo reescrevendo o termo geral:
\frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}} = \frac{1}{4}\cdot\frac{(-3)^{n-1}}{4^{\,n-1}}.
Agrupando as potências:
\frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}} = \frac{1}{4}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1}.
Assim a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}} = \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1}.

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre séries geométricas (muito útil na prova).
  • Definição: uma série geométrica tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}, onde a é o primeiro termo (quando o somatório começa em n=0) e r é a razão comum.
  • Critério de convergência: a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge 1, diverge.
  • Soma: se |r|<1, a soma é
\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}=\frac{a}{1-r}.
Breve demonstração da fórmula: seja S=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} com |r|<1. Então
S=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots.
Multiplicando por r:
rS=r+r^{2}+r^{3}+\cdots.
Subtraindo as duas equalidades:
S-rS=1 \quad\Rightarrow\quad S(1-r)=1\quad\Rightarrow\quad S=\frac{1}{1-r}.
Multiplicar por a dá a fórmula geral para a r^n.
Explicação das variáveis:
  • a é o primeiro termo da sequência de potências (quando indexada a partir de n=0);
  • r é a razão (cada termo é r vezes o anterior);
  • |r|<1 garante que as potências r^n vão a zero e a soma infinita converge.

Passo 4

Aplicando isso à nossa série reescrita em \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1}.
  • Aqui a soma interna é uma série geométrica no índice deslocado: \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1} é da forma \sum_{k=0}^{\infty} r^{k} com r=\dfrac{-3}{4} (fazendo k=n-1).
  • Verifico o critério: |r|=\left|\dfrac{-3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}<1. Então a série geométrica converge.
  • O primeiro termo (para k=0) é 1, logo aplicando a fórmula da soma,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1}=\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-\left(-\tfrac{3}{4}\right)}=\frac{1}{1+\tfrac{3}{4}}.
Calculo o denominador:
1+\tfrac{3}{4}=\tfrac{4}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{7}{4}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1}=\frac{1}{7/4}=\frac{4}{7}.

Passo 5

Lembro que a série original tem o fator \dfrac{1}{4} multiplicando essa soma interna. Então a soma total é
\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{7}.

Resposta

Convergente; soma = \dfrac{1}{7}

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