(\mathbf{1 , 5} pontos) Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule sua soma. Justifique suas respostas. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}}
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a série como convergente ou divergente e, se for convergente, calcule sua soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral da série é \dfrac{(-3)^{n-1}}{4^{n}} para n=1,2,3,\dots.
Preciso decidir convergência/divergência e, em caso de convergência, encontrar a soma numérica da série.
Passo 2
Quero tentar reconhecer a série como uma série geométrica, porque séries geométricas têm critério de convergência simples e fórmula fechada para a soma. Vou manipular o termo geral para colocá-lo na forma clássica de uma geométrica.
Agora uma pequena aula sobre séries geométricas (muito útil na prova).
Definição: uma série geométrica tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}, onde a é o primeiro termo (quando o somatório começa em n=0) e r é a razão comum.
Critério de convergência: a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge 1, diverge.
Soma: se |r|<1, a soma é
\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}=\frac{a}{1-r}.
Breve demonstração da fórmula: seja S=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} com |r|<1. Então
a é o primeiro termo da sequência de potências (quando indexada a partir de n=0);
r é a razão (cada termo é r vezes o anterior);
|r|<1 garante que as potências r^n vão a zero e a soma infinita converge.
Passo 4
Aplicando isso à nossa série reescrita em \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1}.
Aqui a soma interna é uma série geométrica no índice deslocado: \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1} é da forma \sum_{k=0}^{\infty} r^{k} com r=\dfrac{-3}{4} (fazendo k=n-1).
Verifico o critério: |r|=\left|\dfrac{-3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}<1. Então a série geométrica converge.
O primeiro termo (para k=0) é 1, logo aplicando a fórmula da soma,