Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=2}^{\infty}\left(-\frac{1}{\ln k}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{k=2}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{\ln k}\Bigr)^{k}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Aqui o conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da raiz para a série de valores absolutos.

Passo 2

Seja a_k = \bigl(-\tfrac{1}{\ln k}\bigr)^k. Para o teste da raiz, calculamos
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{\bigl|a_k\bigr|} =\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{\Bigl(\frac{1}{\ln k}\Bigr)^{k}} =\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\ln k} =0.
Como esse limite é menor que 1, o teste da raiz garante que
\sum_{k=2}^{\infty}\bigl|a_k\bigr| =\sum_{k=2}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\ln k}\Bigr)^{k}
converge. Logo a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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