Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k \cos k \pi}{k^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\cos(k\pi)}{k^{2}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste de convergência absoluta e, se falhar, o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Observamos que
\cos(k\pi)=(-1)^{k}.
Logo a série pode ser escrita como
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{k}{k^{2}+1}.

Passo 3

Para o teste de convergência absoluta consideramos
\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl|\;(-1)^{k}\,\frac{k}{k^{2}+1}\Bigr|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k^{2}+1}.
Como, para k grande,
\frac{k}{k^{2}+1}\sim\frac{1}{k}
e a série harmônica \sum1/k diverge, a série \sum_{k=1}^\infty k/(k^2+1) também diverge por comparação. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Seja
\;b_{k}=\frac{k}{k^{2}+1}.
  1. Temos
\lim_{k\to\infty}b_{k} =\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k^{2}+1}=0.
  1. Para ver que b_{k} é decrescente para k\ge1, note a função
\;f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
com derivada
f'(x) =\frac{(x^{2}+1)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\le0 \quad\text{para }x\ge1.
Portanto, b_{k} decresce e tende a zero, satisfazendo o critério de Leibniz, que garante convergência da série alternada.

Passo 5

Concluímos que a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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