Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k \cos k \pi}{k^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\cos(k\pi)}{k^{2}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste de convergência absoluta e, se falhar, o critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Observamos que
\cos(k\pi)=(-1)^{k}.
Logo a série pode ser escrita como
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{k}{k^{2}+1}.
Passo 3
Para o teste de convergência absoluta consideramos
e a série harmônica \sum1/k diverge, a série \sum_{k=1}^\infty k/(k^2+1) também diverge por comparação. Portanto, a série original não converge absolutamente.
Passo 4
Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Seja