Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: um para a convergência absoluta (comparação com a série harmônica) e outro para a convergência condicional (critérios de Leibniz para séries alternadas).
Passo 2
Verificamos a convergência absoluta analisando \sum_{k=1}^{\infty} \biggl|\frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}}\biggr| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}.
Para grandes k, temos
Como a série \sum 1/k diverge (série harmônica), pelo teste da comparação limite (limite da razão dos termos é 1), concluímos que \sum_{k=1}^{\infty} 1/\sqrt{k(k+1)} diverge.
Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternada \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} b_{k} com