Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos (k \pi)}{\sqrt{k^{2}+1}}
ABSOLUTA
ALTERNADA
CONCLUSÃO
e como \sum 1/k diverge, a série de termos absolutos também diverge. Logo, não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz na série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}b_{k},
com
b_{k}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}.
b_{k}>0 para todo k.
b_{k+1}=\frac{1}{\sqrt{(k+1)^{2}+1}}<\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=b_{k}, ou seja, (b_{k}) é decrescente.
\displaystyle\lim_{k\to\infty}b_{k}=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=0.
Pelo teste de Leibniz, a série converge.
Passo 4
Concluímos que a série não converge absolutamente, mas converge por ser alternada com termos decrescentes a zero. Portanto, é uma convergência condicional.