Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos (k \pi)}{\sqrt{k^{2}+1}}
ABSOLUTA
ALTERNADA
CONCLUSÃO

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(k\pi)}{\sqrt{k^{2}+1}}.
Note que \cos(k\pi)=(-1)^{k}, então podemos escrever
a_{k} = \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k^{2}+1}}.
O conteúdo que vamos usar é o teste de convergência absoluta (comparação com \sum 1/k) e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta analisando
\sum_{k=1}^{\infty}\bigl|a_{k}\bigr| =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}.
Para k grande, \sqrt{k^{2}+1}\sim k, então
\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\sim\frac{1}{k},
e como \sum 1/k diverge, a série de termos absolutos também diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz na série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}b_{k},
com
b_{k}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}.
  1. b_{k}>0 para todo k.
  2. b_{k+1}=\frac{1}{\sqrt{(k+1)^{2}+1}}<\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=b_{k}, ou seja, (b_{k}) é decrescente.
  3. \displaystyle\lim_{k\to\infty}b_{k}=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=0.
    Pelo teste de Leibniz, a série converge.

Passo 4

Concluímos que a série não converge absolutamente, mas converge por ser alternada com termos decrescentes a zero. Portanto, é uma convergência condicional.

Resposta

ABSOLUTA: diverge
ALTERNADA: converge
CONCLUSÃO: convergência condicionalmente convergente

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