Encontre o raio e intervalo de convergência:
a) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(x-1)^{k}}{k^{2} 5^{k}}
b) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{2 k+1}}{k!}
c) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k!(x-4)^{k}}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado apresenta três séries de potências centradas em diferentes pontos e pede o raio de convergência R de cada uma e o respectivo intervalo (ou conjunto) de convergência. Para isso, vamos usar principalmente o teste da raiz e o teste da razão.

Passo 2

Para a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(x-1)^{k}}{k^{2}5^{k}},
aplicamos o teste da raiz:
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{|x-1|^{k}}{k^{2}5^{k}}} =\frac{|x-1|}{5}\lim_{k\to\infty}k^{-2/k} =\frac{|x-1|}{5}.
Converge se \frac{|x-1|}{5}<1, ou seja |x-1|<5. Logo R=5 e o intervalo interior é (-4,6). Nos extremos:
  • Para x=-4 temos x-1=-5 e a série fica \sum_{k=1}^{\infty}\tfrac{1}{k^{2}}, que converge.
  • Para x=6 temos x-1=5 e a série fica \sum_{k=1}^{\infty}\tfrac{(-1)^{k}}{k^{2}}, que também converge.
    Portanto a convergência é em [-4,6].

Passo 3

Para a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{2k+1}}{k!},
usamos o teste da razão:
\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} =\frac{|x-3|^{2(k+1)+1}/(k+1)!}{|x-3|^{2k+1}/k!} =\frac{|x-3|^{2}}{k+1} \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\;0
para todo x. Logo converge para todo x, ou seja R=\infty e intervalo de convergência (-\infty,\infty).

Passo 4

Para a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}k!(x-4)^{k}}{3^{k}},
aplicamos o teste da raiz:
\sqrt[k]{\frac{k!\,|x-4|^{k}}{3^{k}}} =\frac{(k!)^{1/k}}{3}\,|x-4| \sim\frac{k/e}{3}\,|x-4| \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\;\infty
para todo x\neq4. A série só converge quando |x-4|=0, i.e.\ x=4. Logo R=0 e o único ponto de convergência é \{4\}.

Resposta

(a) R=5, intervalo de convergência [-4,6]
(b) R=\infty, intervalo de convergência (-\infty,\infty)
(c) R=0, conjunto de convergência \{4\}

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