Sabendo que \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+\cdots\right) e que y=\frac{1+x}{1-x} ou equivalente, determine o valor de y para (-1<x<1).

Passo 1

O enunciado nos dá a expansão em série de
\ln\biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr) =2\Bigl(x+\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{5}}{5}+\tfrac{x^{7}}{7}+\cdots\Bigr)
para -1<x<1, e define
y=\frac{1+x}{1-x}.
O que precisamos é expressar y em função de x usando essa série.

Passo 2

Como y=(1+x)/(1-x), temos
\ln y = \ln\biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr).
Pela série dada, para -1<x<1 vale
\ln y =2\Bigl(x+\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{5}}{5}+\cdots\Bigr).

Passo 3

Basta agora exponentiar os dois lados para obter y. Então
y = \exp\biggl(\ln y\biggr) = \exp\Bigl[\,2\bigl(x+\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{5}}{5}+\cdots\bigr)\Bigr].

Resposta

y = \exp\!\Bigl(2\bigl(x+\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{5}}{5}+\cdots\bigr)\Bigr), \quad\text{para }-1<x<1.

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