Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
sumn=1^infty(-1)^n-1 (2^3 n+4-n)e^n n^3 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar a série infinita
sumn=1^infty (-1)^n-1 2^3n + 4 - ne^n n^3n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e criterios de convergência, como o Teste da série alternada e o Teste da convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série sem considerar o fator alternado sumn=1^infty | 2^3n + 4 - ne^n n^3n | . Isso nos ajuda a verificar a convergência absoluta.
A série sem o termo alternado fica:
2^3n + 4 - n = 16 cdot 8^n - n
Para simplificar, observamos que 2^3n + 4 - n approx 16 cdot 8^n . Então podemos reescrever o numerador:
sumn=1^infty 16 cdot 8^ne^n n^3n = 16 sumn=1^infty ( 8e )^n 1n^3n
Para grande, domina sobre , então podemos aproximar:
Então a série simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da série:
an = ( 8e )^n 1n^3n
Queremos verificar se a série limn to infty raiz[n]an = limn to infty raiz[n] ( 8e )^n 1n^3n = limn to infty 8e cdot 1n^3 converge. Vamos usar o Teste da Raiz, que é útil quando temos potências de limn to infty 8e cdot 1n^3 = 0 .
Segundo o Teste da Raiz, calculamos:
Simplificando:
Como o limite é menor que 1, pela Critério da Raiz, a série converge absolutamente.

Passo 4

Já que a série sem o termo alternado converge absolutamente, isso significa que a série original também converge absolutamente. A convergência absoluta implica que a série não apenas converge, mas também que convergirá mesmo se removermos o termo alternado.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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