Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto P0 indicado.
(d) { z = 2xy / (x^2 + y^2) ; y = -1 ; P0(1, -1, -1) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas e a geometria analítica, que nos ajudam a determinar a direção da reta tangente em um ponto específico de uma curva no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções que definem a curva e usar essas informações para obter as equações paramétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a curva dada pelo sistema de equações:
Como é constante, podemos substituir esse valor na equação de para obter em termos de :
Então, a curva pode ser parametrizada por , com e .

Passo 3

Agora, vamos considerar como nosso parâmetro . Assim, as equações paramétricas da curva são:
Para encontrar a reta tangente no ponto , precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a no ponto onde .

Passo 4

Calculando as derivadas:
No ponto :
Então, o vetor diretor da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor e o ponto pelo qual a reta passa, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde é o ponto da reta e são as componentes do vetor diretor.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:
Onde é o parâmetro.

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