classificar o sistema (por exemplo: consistente/inconsistente; determinado/indeterminado),
exibir uma solução, caso ela exista.
Informações relevantes fornecidas:
São 3 equações e 3 incógnitas x,y,z.
Note que todos os coeficientes e termos independentes são números reais.]
Passo 2
Observar relações entre equações (busca por dependência/independência). Vou comparar a primeira e a terceira equações:
\frac{1}{2}\bigl(2x+4y+6z\bigr)=x+2y+3z
e
\frac{1}{2}(-6)=-3.
Portanto a terceira equação é exatamente metade da primeira. Conclusão: a terceira equação não traz informação nova — ela é linearmente dependente da primeira. Então, efetivamente, temos apenas duas equações independentes entre as três incógnitas.
Passo 3
Implicação prática: com apenas duas equações independentes e três incógnitas espera-se tipicamente um sistema consistente com infinitas soluções (ou inconsistente se as duas equações fossem contraditórias). Vou reduzir o sistema usando a primeira e a segunda equações (a terceira é redundante). Escrevo o sistema equivalente:
Aqui expliquei: dividi a primeira equação por 2 para obter a forma x+2y+3z=-3, que coincide com a terceira.]
Passo 4
Escolher uma incógnita livre (parâmetro). Como há menos equações independentes do que incógnitas, escolho z como parâmetro livre e escrevo
z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Justificativa didática curta: quando há variáveis “sobrando” (mais incógnitas que equações independentes), uma ou mais são escolhidas como parâmetros livres para parametrizar todas as soluções.
Passo 5
Com z=t\), as duas equações ficam:
\[\begin{cases} x+2y = -3-3t,\\[4pt] 3x-2y = -38+4t. \end{cases}
Vou resolver esse sistema de duas equações para x\] e \(y.]
Passo 6
Somando as duas equações para eliminar y:
(x+2y)+(3x-2y)=(-3-3t)+(-38+4t).
No lado esquerdo o 2y e -2y se cancelam; no lado direito somam-se os termos constantes e os que têm t:
Isto mostra que há infinitas soluções (um parâmetro livre): o sistema é consistente e indeterminado (dependente).
Passo 9
Verificação rápida (exemplo particular): se escolher t=0 então
x=-\tfrac{41}{4},\quad y=\tfrac{29}{8},\quad z=0,
e checando na primeira equação: 2x+4y+6z=2(-\tfrac{41}{4})+4(\tfrac{29}{8})=-\tfrac{41}{2}+\tfrac{29}{2}=-6, OK. Na segunda: 3x-2y-4z=3(-\tfrac{41}{4})-2(\tfrac{29}{8})=-\tfrac{123}{4}-\tfrac{29}{4}=-\tfrac{152}{4}=-38, OK. Assim a fórmula geral está correta.
Resposta
O sistema é consistente e indeterminado (infinitas soluções).
Solução geral: \displaystyle (x,y,z)=\Bigl(\frac{-41+t}{4},\\ \frac{29-13t}{8},\\ t\Bigr),\\ t\in\mathbb{R}.