Classifique o sistema e exiba uma solução, caso ela exista:
\left\{\begin{array}{ccc} 2 x+4 y+6 z & = & -6 \\ 3 x-2 y-4 z & = & -38 \\ x+2 y+3 z & = & -3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{rcl} 2x+4y+6z &=& -6,\\[4pt] 3x-2y-4z &=& -38,\\[4pt] x+2y+3z &=& -3, \end{array}\right.
e pede duas coisas:
  • classificar o sistema (por exemplo: consistente/inconsistente; determinado/indeterminado),
  • exibir uma solução, caso ela exista.
Informações relevantes fornecidas:
  • São 3 equações e 3 incógnitas x,y,z.
  • Note que todos os coeficientes e termos independentes são números reais.]

Passo 2

Observar relações entre equações (busca por dependência/independência). Vou comparar a primeira e a terceira equações:
\frac{1}{2}\bigl(2x+4y+6z\bigr)=x+2y+3z
e
\frac{1}{2}(-6)=-3.
Portanto a terceira equação é exatamente metade da primeira. Conclusão: a terceira equação não traz informação nova — ela é linearmente dependente da primeira. Então, efetivamente, temos apenas duas equações independentes entre as três incógnitas.

Passo 3

Implicação prática: com apenas duas equações independentes e três incógnitas espera-se tipicamente um sistema consistente com infinitas soluções (ou inconsistente se as duas equações fossem contraditórias). Vou reduzir o sistema usando a primeira e a segunda equações (a terceira é redundante). Escrevo o sistema equivalente:
\begin{cases} x+2y+3z=-3,\\[4pt] 3x-2y-4z=-38. \end{cases}
Aqui expliquei: dividi a primeira equação por 2 para obter a forma x+2y+3z=-3, que coincide com a terceira.]

Passo 4

Escolher uma incógnita livre (parâmetro). Como há menos equações independentes do que incógnitas, escolho z como parâmetro livre e escrevo
z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Justificativa didática curta: quando há variáveis “sobrando” (mais incógnitas que equações independentes), uma ou mais são escolhidas como parâmetros livres para parametrizar todas as soluções.

Passo 5

Com z=t\), as duas equações ficam: \[\begin{cases} x+2y = -3-3t,\\[4pt] 3x-2y = -38+4t. \end{cases}
Vou resolver esse sistema de duas equações para x\] e \(y.]

Passo 6

Somando as duas equações para eliminar y:
(x+2y)+(3x-2y)=(-3-3t)+(-38+4t).
No lado esquerdo o 2y e -2y se cancelam; no lado direito somam-se os termos constantes e os que têm t:
4x = -41 + t.
Logo
x=\frac{-41+t}{4}.

Passo 7

Agora encontro y usando x+2y=-3-3t. Substituo x:
2y = -3-3t - x = -3-3t - \frac{-41+t}{4}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador 4:
2y = \frac{-12-12t +41 - t}{4} = \frac{29-13t}{4}.
Portanto
y=\frac{29-13t}{8}.

Passo 8

Reescrevendo a solução geral com o parâmetro t:
x=\frac{-41+t}{4},\qquad y=\frac{29-13t}{8},\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que há infinitas soluções (um parâmetro livre): o sistema é consistente e indeterminado (dependente).

Passo 9

Verificação rápida (exemplo particular): se escolher t=0 então
x=-\tfrac{41}{4},\quad y=\tfrac{29}{8},\quad z=0,
e checando na primeira equação: 2x+4y+6z=2(-\tfrac{41}{4})+4(\tfrac{29}{8})=-\tfrac{41}{2}+\tfrac{29}{2}=-6, OK. Na segunda: 3x-2y-4z=3(-\tfrac{41}{4})-2(\tfrac{29}{8})=-\tfrac{123}{4}-\tfrac{29}{4}=-\tfrac{152}{4}=-38, OK. Assim a fórmula geral está correta.

Resposta

O sistema é consistente e indeterminado (infinitas soluções).
Solução geral: \displaystyle (x,y,z)=\Bigl(\frac{-41+t}{4},\\ \frac{29-13t}{8},\\ t\Bigr),\\ t\in\mathbb{R}.

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