Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes. Usando a teoria acima resolva os sistema A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 3 & 7 & -5\end{array}\right] e
B=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 3 \\\\ 100\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pedimos resolver o sistema linear A X = B, ou seja encontrar o vetor incógnita X tal que A X = B.
  • Matriz dos coeficientes:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\[4pt] 2 & 5 & -4\\[4pt] 3 & 7 & -5 \end{pmatrix}
  • Vetor dos termos independentes:
B=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]100\end{pmatrix}.
  • Queremos achar X=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} que satisfaça A X = B.]

Passo 2

Escolha do método e decomposição A=LU.
  • Motivação rápida (sem desenvolver teoria longa): quando a mesma matriz A seria usada para vários vetores B, é eficiente decompor A em L (triangular inferior, com 1s na diagonal) e U (triangular superior). Depois resolve-se L Y = B por substituição direta e U X = Y por substituição retroativa. Aqui vou aplicar essa ideia porque é direta e ótima para sistemas com mesmo A.
  • Vamos fazer a decomposição pelo método de Doolittle (onde L tem 1s na diagonal). A ideia é produzir L e U tais que A = L U. Escrevendo L=(\ell_{ij}) e U=(u_{ij}), as fórmulas que usamos são:
    • u_{1j}=a_{1j} para todo j (primeira linha de U é a primeira linha de A).
    • \ell_{i1}=a_{i1}/u_{11} para i>1 (multiplicadores da primeira coluna).
    • Em geral, depois de obter linhas/colunas anteriores, calcula-se os elementos restantes por subtração de contribuições já usadas.
  • Aplicando passo a passo com os números:
    1. Primeira linha de U:
    u_{11}=1,\quad u_{12}=2,\quad u_{13}=-2,
    porque é a primeira linha de A.
    1. Multiplicadores da primeira coluna:
    \ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{3}{1}=3.
    1. Subtrai-se \ell_{21} vezes a primeira linha de A da segunda linha, e \ell_{31} vezes a primeira linha de A da terceira linha, para obter as linhas reduzidas:
    \text{linha 2 reduzida} = (2,5,-4) - 2\cdot(1,2,-2) = (0,1,0),
\text{linha 3 reduzida} = (3,7,-5) - 3\cdot(1,2,-2) = (0,1,1).
  1. Agora u_{22} é o segundo elemento da segunda linha reduzida:
u_{22}=1.
  1. Multiplicador abaixo de u_{22}:
\ell_{32}=\frac{\text{(linha 3 reduzida)}_2}{u_{22}}=\frac{1}{1}=1.
  1. Subtrai-se \ell_{32} vezes a segunda linha reduzida da terceira linha reduzida:
\text{linha 3 final} = (0,1,1) - 1\cdot(0,1,0) = (0,0,1).
Isso nos dá u_{33}=1.
  • Assim obtemos
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Checagem rápida: multiplicando L U recupera-se A (pode confiar ou conferir se quiser).]

Passo 3

Resolver L Y = B por substituição direta (forward substitution).
  • Fórmula geral: para L triangular inferior com diagonal de 1,
y_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} \ell_{ij}\,y_j,\qquad i=1,\dots,n.
Aqui n=3. Vamos calcular Y=(y_1,y_2,y_3)^T.
  • Cálculos:
    1. Para i=1:
    y_1 = b_1 = -1.
    1. Para i=2:
    y_2 = b_2 - \ell_{21}y_1 = 3 - 2\cdot(-1) = 3 + 2 = 5.
    1. Para i=3:
    y_3 = b_3 - \ell_{31}y_1 - \ell_{32}y_2 = 100 - 3\cdot(-1) - 1\cdot 5 = 100 + 3 - 5 = 98.
  • Logo
Y=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]98\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver U X = Y por substituição retroativa (back substitution).
  • Fórmula geral para U triangular superior:
x_i = \frac{1}{u_{ii}}\Bigl(y_i - \sum_{j=i+1}^{n} u_{ij}\,x_j\Bigr),\qquad i=n,n-1,\dots,1.
  • Aqui u_{33}=1, u_{22}=1, u_{11}=1. Calculamos de cima para baixo (de i=3 para i=1).
  • Cálculos:
    1. Para i=3:
    x_3 = \frac{y_3}{u_{33}} = \frac{98}{1} = 98.
    1. Para i=2:
    x_2 = \frac{y_2 - u_{23}x_3}{u_{22}} = \frac{5 - 0\cdot 98}{1} = 5.
    1. Para i=1:
    x_1 = \frac{y_1 - u_{12}x_2 - u_{13}x_3}{u_{11}} = \frac{-1 - 2\cdot 5 - (-2)\cdot 98}{1}.
    Calcule passo a passo:
    -1 - 2\cdot 5 = -1 - 10 = -11,
-(-2)\cdot 98 = +196,
x_1 = -11 + 196 = 185.
  • Portanto
X=\begin{pmatrix}185\\[4pt]5\\[4pt]98\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (opcional, boa prática).
  • Multiplicando A X:
    1. Primeira linha: 1\cdot185 + 2\cdot5 + (-2)\cdot98 = 185 + 10 -196 = -1.
    2. Segunda linha: 2\cdot185 + 5\cdot5 + (-4)\cdot98 = 370 + 25 -392 = 3.
    3. Terceira linha: 3\cdot185 + 7\cdot5 + (-5)\cdot98 = 555 + 35 -490 = 100.
  • Resultado coincide com B, logo solução confirmada.

Resposta

X=\begin{pmatrix}185\\[4pt]5\\[4pt]98\end{pmatrix}]

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