Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes. Usando a teoria acima resolva os sistema A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 3 & 7 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 3 \\\\ 100\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
Pedimos resolver o sistema linear A X = B, ou seja encontrar o vetor incógnita X tal que A X = B.
Queremos achar X=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} que satisfaça A X = B.]
Passo 2
Escolha do método e decomposição A=LU.
Motivação rápida (sem desenvolver teoria longa): quando a mesma matriz A seria usada para vários vetores B, é eficiente decompor A em L (triangular inferior, com 1s na diagonal) e U (triangular superior). Depois resolve-se L Y = B por substituição direta e U X = Y por substituição retroativa. Aqui vou aplicar essa ideia porque é direta e ótima para sistemas com mesmo A.
Vamos fazer a decomposição pelo método de Doolittle (onde L tem 1s na diagonal). A ideia é produzir L e U tais que A = L U. Escrevendo L=(\ell_{ij}) e U=(u_{ij}), as fórmulas que usamos são:
u_{1j}=a_{1j} para todo j (primeira linha de U é a primeira linha de A).
\ell_{i1}=a_{i1}/u_{11} para i>1 (multiplicadores da primeira coluna).
Em geral, depois de obter linhas/colunas anteriores, calcula-se os elementos restantes por subtração de contribuições já usadas.
Subtrai-se \ell_{21} vezes a primeira linha de A da segunda linha, e \ell_{31} vezes a primeira linha de A da terceira linha, para obter as linhas reduzidas: