Num grande acampamento militar há 150 blindados dos tipos BM3, BM4 e BM5, isto é, equipados com 3, 4 e 5 canhões do tipo MX9 respectivamente. O total de canhões disponíveis é igual a 530. A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2 / 3 dos BM3. Se para o início de uma manobra militar, cada canhão carrega 12 projéteis, quantos projéteis serão necessários para o grupo dos BM4 no início da operação?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que segue foi extraído do enunciado, sem interpretar além do texto):
  • Há três tipos de blindados: BM3, BM4 e BM5, com 3, 4 e 5 canhões do tipo MX9, respectivamente.
  • O total de blindados é 150.
  • O total de canhões, somando todos os blindados, é 530.
  • A soma dos BM4 com os BM5 corresponde a \tfrac{2}{3} dos BM3 (isto é, \text{BM4}+\text{BM5} = \tfrac{2}{3}\times \text{BM3}).
  • No início da manobra, cada canhão carrega 12 projéteis.
    O enunciado pergunta: quantos projéteis serão necessários para o grupo dos BM4 no início da operação?

Passo 2

Definimos variáveis para organizar:
  • Seja x o número de blindados do tipo BM3.
  • Seja y o número de blindados do tipo BM4.
  • Seja z o número de blindados do tipo BM5.
Explicando: dar nomes às quantidades facilita traduzir as frases em equações algébricas que podemos resolver.

Passo 3

Traduzimos as informações em equações:
  • Total de blindados: x+y+z=150.
  • Total de canhões (cada BM3 tem 3, BM4 tem 4, BM5 tem 5): 3x+4y+5z=530.
  • Relação entre as quantidades: y+z=\frac{2}{3}x.
Explicação rápida de cada equação: a primeira soma as quantidades de veículos; a segunda soma os canhões multiplicando número de veículos pelo número de canhões de cada tipo; a terceira é a frase dada no enunciado que relaciona as quantidades.

Passo 4

Usamos as equações para encontrar x. Da equação \;y+z=\dfrac{2}{3}x\; e da equação \;x+y+z=150\;, substituímos y+z na segunda:
x + (y+z)=150 \quad\Rightarrow\quad x + \frac{2}{3}x =150.
Agora somamos os coeficientes de x:
\frac{3}{3}x+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}x=150.
Isolando x:
x=150\cdot\frac{3}{5}=150\cdot\frac{3}{5}=90.

Passo 5

Com x=90, voltamos à relação \;y+z=\dfrac{2}{3}x\; para obter y+z:
y+z=\frac{2}{3}\cdot 90 = 60.

Passo 6

Substituímos x=90 na equação dos canhões \;3x+4y+5z=530\; para obter uma equação só com y e z:
3\cdot 90 + 4y + 5z = 530 \quad\Rightarrow\quad 270 + 4y + 5z = 530.
Subtraindo 270 de ambos os lados:
4y + 5z = 260.

Passo 7

Agora temos o sistema em y,z\): \[\begin{cases} y+z=60,\\[4pt] 4y+5z=260. \end{cases}
Explico a técnica de eliminação que vou usar: multiplicamos a primeira equação por 4\] para alinhar o coeficiente de \(y com a segunda e então subtrair uma equação da outra para eliminar y.
Multiplicando \;y+z=60\; por 4:
4y+4z=240.
Agora subtraímos essa equação da equação \;4y+5z=260\;:
(4y+5z)-(4y+4z)=260-240 \quad\Rightarrow\quad z = 20.]

Passo 8

Com z=20 e y+z=60, encontramos y:
y = 60 - z = 60 - 20 = 40.
Portanto há 40 blindados do tipo BM4.

Passo 9

Calculamos quantos canhões pertencem ao grupo BM4: cada BM4 tem 4 canhões, então o total de canhões dos BM4 é
4\cdot y = 4\cdot 40 = 160.
Pequena verificação mental: 160 canhões vindos dos BM4 fazem sentido diante dos totais usados.

Passo 10

Finalmente, como cada canhão carrega 12 projéteis no início, o número de projéteis necessários para todos os canhões do grupo BM4 é
160 \cdot 12 = 160\cdot(10+2)=1600+320=1920.

Resposta

1920 projéteis

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