Classifique os sistemas abaixo e explicite as soluções quando possível.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\\ x-y-z=-3 \\\\ 2 x+y+2 z=1 \\\\ 3 x+2 y+3 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} x+y+z=2\\[4pt] x-y-z=-3\\[4pt] 2x+y+2z=1\\[4pt] 3x+2y+3z=3 \end{cases}
O que é pedido:
  • Classificar o sistema (compatível/incompatível; se compatível, determinar se é determinado ou indeterminado).
  • Quando possível, explicitar a(s) solução(ões).
As informações relevantes são as quatro equações acima (quatro equações em três incógnitas).]

Passo 2

Para resolver e classificar sistemas lineares é prático usar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas do sistema em forma matricial). Vou escrever a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes). Peguei os coeficientes e termos independentes diretamente do enunciado:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -1 & -1 & -3\\[4pt] 2 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 3 & 3 \end{array}\right]
Lembrete rápido sobre operações elementares que posso usar sem alterar o conjunto de soluções:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações correspondem a manipular as equações mantendo as soluções.]

Passo 3

Aplicar operações para eliminar a primeira coluna nas linhas 2,3,4 usando a linha 1 como pivô.
Faço as operações (tirei os dados das linhas da matriz acima):
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - 2R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - 3R_1. \end{aligned}
Isso dá a matriz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -3 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora quero um pivô na segunda coluna; troco R_2 com R_3 (para ter um -1 mais simples) e em seguida multiplico por -1 para deixar pivô positivo:
R_2 \leftrightarrow R_3,\qquad R_2 \leftarrow -R_2.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -2 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -3 \end{array}\right].]

Passo 5

Usando R_2 (com pivô 1 na coluna y) elimino os elementos abaixo na mesma coluna:
\begin{aligned} R_3 &\leftarrow R_3 + 2R_2,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 + R_2. \end{aligned}
Calculemos os resultados (peguei os números das linhas anteriores):
  • Para R_3: [0,-2,-2|-5] + 2\cdot[0,1,0|3] = [0,0,-2|1].
  • Para R_4: [0,-1,0|-3] + [0,1,0|3] = [0,0,0|0].
Então a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Temos agora um pivô na terceira coluna em R_3. Normalizo R_3 dividindo por -2:
R_3 \leftarrow \frac{1}{-2}R_3,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora faço a eliminação regressiva (voltar substituindo para zerar acima dos pivôs):
  • Eliminar o termo z em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
  • Eliminar o termo y em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (ou primeiro eliminar y com R_2, tanto faz a ordem; aqui fazia-se R_1 - R_2 - R_3).
Façamos em duas etapas claras:
  1. Primeiro elimino y de R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2. A linha R_1 passa de [1,1,1|2] para [1,0,1|-1] porque 2-3=-1.
  2. Depois elimino z de R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_3. Assim R_1 passa de [1,0,1|-1] para [1,0,0|-\tfrac{1}{2}] porque -1 - (-\tfrac{1}{2}) = -\tfrac{1}{2}.
A matriz final em forma reduzida (escalonada) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Lê-se diretamente da forma escalonada a solução:
x=-\tfrac{1}{2},\qquad y=3,\qquad z=-\tfrac{1}{2}.
Agora a classificação via posto (ranks): o posto da matriz dos coeficientes é o número de pivôs não nulos obtidos (aqui há pivôs nas três colunas), logo \operatorname{rank}(A)=3. O posto da matriz aumentada \operatorname{rank}([A|b]) também é 3 (não apareceu nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0). Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=3 e o número de incógnitas é 3, pelo critério de Rouché–Capelli o sistema é compatível e determinado (tem exatamente uma solução).
Breve explicação didática do critério (para lembrar na prova): se r é o posto da matriz de coeficientes e n o número de incógnitas então
  • se \operatorname{rank}(A)\ne\operatorname{rank}([A|b]) o sistema é incompatível (sem solução);
  • se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=n há solução única (sistema compatível determinado);
  • se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])<n há infinito de soluções (compatível indeterminado), com n-r variáveis livres.

Passo 9

Verificação rápida (substituição nas equações originais) para garantir que a solução encontrada satisfaz todas:
  • Para \;x+y+z=2: -\tfrac{1}{2}+3+(-\tfrac{1}{2})=2 OK.
  • Para \;x-y-z=-3: -\tfrac{1}{2}-3-(-\tfrac{1}{2})=-3 OK.
  • Para \;2x+y+2z=1: 2(-\tfrac{1}{2})+3+2(-\tfrac{1}{2})=-1+3-1=1 OK.
  • Para \;3x+2y+3z=3: 3(-\tfrac{1}{2})+2\cdot3+3(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{3}{2}+6-\tfrac{3}{2}=3 OK.
Tudo confere.

Resposta

Classificação: sistema compatível determinado (tem solução única).
Solução: x=-\tfrac{1}{2},\; y=3,\; z=-\tfrac{1}{2}

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