Classificar o sistema (compatível/incompatível; se compatível, determinar se é determinado ou indeterminado).
Quando possível, explicitar a(s) solução(ões).
As informações relevantes são as quatro equações acima (quatro equações em três incógnitas).]
Passo 2
Para resolver e classificar sistemas lineares é prático usar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas do sistema em forma matricial). Vou escrever a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes). Peguei os coeficientes e termos independentes diretamente do enunciado:
Lembrete rápido sobre operações elementares que posso usar sem alterar o conjunto de soluções:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações correspondem a manipular as equações mantendo as soluções.]
Passo 3
Aplicar operações para eliminar a primeira coluna nas linhas 2,3,4 usando a linha 1 como pivô.
Faço as operações (tirei os dados das linhas da matriz acima):
Agora faço a eliminação regressiva (voltar substituindo para zerar acima dos pivôs):
Eliminar o termo z em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
Eliminar o termo y em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (ou primeiro eliminar y com R_2, tanto faz a ordem; aqui fazia-se R_1 - R_2 - R_3).
Façamos em duas etapas claras:
Primeiro elimino y de R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2. A linha R_1 passa de [1,1,1|2] para [1,0,1|-1] porque 2-3=-1.
Depois elimino z de R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_3. Assim R_1 passa de [1,0,1|-1] para [1,0,0|-\tfrac{1}{2}] porque -1 - (-\tfrac{1}{2}) = -\tfrac{1}{2}.
Agora a classificação via posto (ranks): o posto da matriz dos coeficientes é o número de pivôs não nulos obtidos (aqui há pivôs nas três colunas), logo \operatorname{rank}(A)=3. O posto da matriz aumentada \operatorname{rank}([A|b]) também é 3 (não apareceu nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0). Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=3 e o número de incógnitas é 3, pelo critério de Rouché–Capelli o sistema é compatível e determinado (tem exatamente uma solução).
Breve explicação didática do critério (para lembrar na prova): se r é o posto da matriz de coeficientes e n o número de incógnitas então
se \operatorname{rank}(A)\ne\operatorname{rank}([A|b]) o sistema é incompatível (sem solução);
se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=n há solução única (sistema compatível determinado);
se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])<n há infinito de soluções (compatível indeterminado), com n-r variáveis livres.
Passo 9
Verificação rápida (substituição nas equações originais) para garantir que a solução encontrada satisfaz todas:
Para \;x+y+z=2: -\tfrac{1}{2}+3+(-\tfrac{1}{2})=2 OK.
Para \;x-y-z=-3: -\tfrac{1}{2}-3-(-\tfrac{1}{2})=-3 OK.
Para \;2x+y+2z=1: 2(-\tfrac{1}{2})+3+2(-\tfrac{1}{2})=-1+3-1=1 OK.
Para \;3x+2y+3z=3: 3(-\tfrac{1}{2})+2\cdot3+3(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{3}{2}+6-\tfrac{3}{2}=3 OK.