Classifique os sistemas abaixo em possível determinado, possível indeterminado e impossível.
\left\{\begin{array}{l}x-2 y+z=1 \\\\ 2 x+y=0 \\\ y-5 z=4\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} x - 2y + z = 1,\\\\ 2x + y = 0,\\\ y - 5z = 4. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear 3\times 3 por substituição (ou eliminação) e classificação em possível determinado (solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução).

Passo 2

Da segunda equação isolamos x:
2x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{y}{2}.
Da terceira equação isolamos y:
y - 5z = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 4 + 5z.

Passo 3

Substituímos x e y em função de z na primeira equação:
x - 2y + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(-\tfrac{y}{2}\Bigr) - 2y + z = 1.
Agora substituímos y=4+5z:
-\frac{4+5z}{2} - 2(4+5z) + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad -2 - \frac{5}{2}z - 8 -10z + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad -10 - \frac{23}{2}z = 1.
Resolvendo para z:
-\frac{23}{2}z = 11 \quad\Longrightarrow\quad z = -\frac{22}{23}.
Em seguida,
y = 4 + 5z = 4 - \frac{110}{23} = -\frac{18}{23}, \qquad x = -\frac{y}{2} = \frac{9}{23}.

Passo 4

Obtemos solução única \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(\tfrac{9}{23},-\tfrac{18}{23},-\tfrac{22}{23}\bigr). Como há exatamente uma solução, o sistema é possível determinado.

Resposta

O sistema é possível determinado.

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