Reduza as matrizes à forma escalonada por linhas
\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a matriz
\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
à forma escalonada por linhas. Vamos usar operações elementares de linha: troca de linhas, adição de múltiplos de uma linha em outra e, opcionalmente, escalação de pivôs.

Passo 2

Para obter o pivô na posição (1,1), trocamos a linha 1 com a linha 2:
R_1 \leftrightarrow R_2
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do pivô em coluna 1:
R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1, \quad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & -7 & -7 \\\\ 0 & -5 & -5 \end{pmatrix}

Passo 4

O próximo pivô está em (2,2) e vale 2. Eliminamos os elementos abaixo dele em coluna 2:
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{7}{2}R_2, \quad R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{5}{2}R_2
As linhas 3 e 4 tornam-se nulas, ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Passo 5

Como já temos zeros abaixo de cada pivô e duas linhas nulas no final, isso satisfaz a forma escalonada. Se quisermos pivôs iguais a 1, dividimos a segunda linha por 2:
R_2 \leftarrow \tfrac12 R_2
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Resposta

A forma escalonada por linhas é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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