Classifique os sistemas contínuos representados pelas equações abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; concentrado/distribuído.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema contínuo descrito pela equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sqrt{1 + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2}}
nos aspectos de linearidade, invariância e tipo (concentrado ou distribuído). Para isso, vamos usar:
  1. Definição de sistema linear: verifica se vale o princípio da superposição.
  2. Definição de invariança no tempo (ou no espaço da variável independente): verifica se o sistema depende explicitamente de x.
  3. Distinção entre sistemas concentrados (lumped) e distribuídos: baseia-se no número de coordenadas estatais/integradas.

Passo 2

Verificação de linearidade. Um sistema é linear se para quaisquer entradas u_1, u_2 e escalares \alpha,\beta valem
\mathcal{L}\{\alpha\,u_1 + \beta\,u_2\} = \alpha\,\mathcal{L}\{u_1\} + \beta\,\mathcal{L}\{u_2\}.
Aqui a “entrada” seria y ou suas derivadas, e a equação envolve \sqrt{1+(y')^2}. Como há raiz quadrada e termo (y')^2, não há superposição nem homogeneidade. Portanto o sistema é não linear.

Passo 3

Verificação de invariança em x. Um sistema é invariante se sua equação não contém x explicitamente. A equação y'' = \sqrt{1 + (y')^2} depende apenas de y', não há aparecimento de x isolado no lado direito. Logo o sistema é invariante na variável independente.

Passo 4

Verificação do tipo concentrado versus distribuído. Sistemas distribuídos têm variáveis de estado que dependem de espaço e tempo (por exemplo EDPs). Aqui temos uma EDO de segunda ordem, com número finito de derivadas no espaço de estados; é um sistema de parâmetros concentrados (lumped). Portanto é concentrado.

Resposta

não linear
invariante
concentrado

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