Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[k+2]+0,8 y[k+1]+0,07 y[k]=u[k]

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema discreto definido pela equação de diferenças
y[k+2] + 0,8\,y[k+1] + 0,07\,y[k] = u[k]
e pede para classificá-lo quanto a linearidade, invariância no tempo e causalidade. Vamos usar os conceitos de sistemas discretos: superposição (linearidade), dependência de tempo (invariância) e dependência de instantes futuros (causalidade).

Passo 2

Linearidade: um sistema é linear se, dados dois sinais de entrada u_1[k] e u_2[k] com respectivas saídas y_1[k] e y_2[k], a entrada a\,u_1[k] + b\,u_2[k] produzir a saída a\,y_1[k] + b\,y_2[k]. Na equação dada todas as ocorrências de y e u aparecem apenas em combinação linear (coeficientes constantes, nenhuma multiplicação ou outra operação não linear entre sinais). Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Invariância no tempo: um sistema é invariante se um deslocamento na entrada gera o mesmo deslocamento na saída. Aqui os coeficientes 0,8 e 0,07 são constantes e não há termos como y[k+2] multiplicado por função de k. Se substituirmos k por k-k_0 em toda a equação, ela mantém-se idêntica, logo é invariante no tempo.

Passo 4

Causalidade: um sistema é causal se a saída em um instante n depende apenas de valores de entrada em instantes \le n. Reescrevendo
y[k+2] = -\,0,8\,y[k+1] - 0,07\,y[k] + u[k],
vê-se que y[n] (quando n=k+2) depende de u[k]=u[n-2], isto é, de entradas em instantes anteriores ou iguais a n. Não há dependência de u em instantes futuros, logo o sistema é causal.

Resposta

Linear; Invariante no tempo; Causal.

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