Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[k+4]+\sin [0,4 k] y[k+1]+0,3 y[k]=k u[k]

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto descrito pela equação a diferenças
y[k+4] + \sin\bigl(0{,}4\,k\bigr)\,y[k+1] + 0{,}3\,y[k] = k\,u[k],
e pede para classificar o sistema quanto a:
  1. Linearidade (linear vs. não linear)
  2. Invariância no tempo (invariante vs. variante)
  3. Causalidade (causal vs. não causal)
Para resolver precisamos usar:
  • A definição de sistema linear (superposição e homogeneidade).
  • A definição de sistema invariante (coeficientes não dependem de tempo).
  • A definição de sistema causal (saída em um instante depende somente de entradas em instantes passados ou presentes).

Passo 2

Verificamos a linearidade:
– Os termos envolvendo y[\cdot] aparecem sempre de forma linear (primeira potência, sem produtos entre sinais).
– O lado direito é k\,u[k], que também é linear em u[k].
Não há termos como y^2, y\,u ou \sin(y), logo o sistema é linear.

Passo 3

Verificamos a invariância no tempo:
– O coeficiente \sin\bigl(0{,}4\,k\bigr) depende explicitamente de k.
– Um sistema invariante no tempo não pode ter coeficientes que variem com k.
Portanto, é um sistema variável no tempo (time-varying).

Passo 4

Verificamos a causalidade:
A condição de causalidade exige que, para qualquer índice n, a saída y[n] dependa apenas de entradas u[m] com m \le n.
Reescrevendo a equação com n = k+4:
y[n] + \sin\bigl(0{,}4\,(n-4)\bigr)\,y[n-3] + 0{,}3\,y[n-4] = (n-4)\,u[n-4].
Aqui vemos que y[n] depende de u[n-4], o que satisfaz n-4 \le n. Não há dependência de u em instantes futuros.
Logo, o sistema é causal.

Resposta

Linear, variante no tempo e causal.

Exercícios relacionados