Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
Passo 1
O enunciado dá o sistema discreto descrito pela equação a diferenças
e pede para classificar o sistema quanto a:
- Linearidade (linear vs. não linear)
- Invariância no tempo (invariante vs. variante)
- Causalidade (causal vs. não causal)
Para resolver precisamos usar:
- A definição de sistema linear (superposição e homogeneidade).
- A definição de sistema invariante (coeficientes não dependem de tempo).
- A definição de sistema causal (saída em um instante depende somente de entradas em instantes passados ou presentes).
Passo 2
Verificamos a linearidade:
– Os termos envolvendo aparecem sempre de forma linear (primeira potência, sem produtos entre sinais).
– O lado direito é , que também é linear em
.
Não há termos como ,
ou
, logo o sistema é linear.
– Os termos envolvendo
– O lado direito é
Não há termos como
Passo 3
Verificamos a invariância no tempo:
– O coeficiente depende explicitamente de
.
– Um sistema invariante no tempo não pode ter coeficientes que variem com .
Portanto, é um sistema variável no tempo (time-varying).
– O coeficiente
– Um sistema invariante no tempo não pode ter coeficientes que variem com
Portanto, é um sistema variável no tempo (time-varying).
Passo 4
Verificamos a causalidade:
A condição de causalidade exige que, para qualquer índice , a saída
dependa apenas de entradas
com
.
A condição de causalidade exige que, para qualquer índice
Reescrevendo a equação com
:
Aqui vemos que
depende de
, o que satisfaz
. Não há dependência de
em instantes futuros.
Logo, o sistema é causal.
Logo, o sistema é causal.
Resposta
Linear, variante no tempo e causal.