Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[n]=x[n] u[n]

Passo 1

O enunciado define um sistema discreto
y[n] = x[n]\,u[n]
e pede para classificá-lo em termos de linearidade, invariância temporal e causalidade. O conteúdo envolvido é o estudo de propriedades de sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) e conceitos de causalidade.

Passo 2

Verificamos a linearidade aplicando o princípio da superposição. Seja x_1[n] com resposta y_1[n]=x_1[n]u[n] e x_2[n] com resposta y_2[n]=x_2[n]u[n]. Para quaisquer escalares a e b,
T\{a\,x_1[n] + b\,x_2[n]\} = \bigl(a\,x_1[n] + b\,x_2[n]\bigr)\,u[n] = a\bigl(x_1[n]u[n]\bigr) + b\bigl(x_2[n]u[n]\bigr) = a\,y_1[n] + b\,y_2[n].
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Testamos a invariância no tempo. Seja um deslocamento n_0. Primeiro a resposta ao sinal deslocado x[n-n_0] é
T\{x[n-n_0]\} = x[n-n_0]\,u[n].
Por outro lado, deslocar a saída original dá
y[n-n_0] = x[n-n_0]\,u[n-n_0].
Como em geral u[n]\neq u[n-n_0], tem-se
T\{x[n-n_0]\} \neq y[n-n_0],
logo o sistema é variante no tempo.

Passo 4

Para verificar a causalidade, checamos se y[n_0] depende apenas de \{x[k]\}_{k\le n_0}. De fato
y[n_0] = x[n_0]\,u[n_0],
que usa somente o valor presente x[n_0] (e u[n_0] é uma sequência conhecida). Não há dependência de valores futuros x[k] com k>n_0. Portanto, o sistema é causal.

Resposta

O sistema y[n]=x[n]\,u[n] é
linear, variante no tempo e causal.

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