Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
Passo 1
O enunciado pede para classificar o sistema discreto dado por
quanto a três propriedades: linearidade, invariância a deslocamentos no tempo e causalidade. Vamos usar os conceitos de superposição para linearidade, de deslocamento de entrada para invariância e verificar se a saída em
depende de valores futuros de
para causalidade.
Passo 2
Verificação de linearidade: um sistema é linear se satisfaz o princípio da superposição, ou seja, para duas entradas
e
e escalares
tivermos
Aqui, denotando por
a saída correspondente a
, temos
Ao expandir o produto aparece o termo cruzado
que não aparece em
Logo o princípio da superposição falha e o sistema é não linear.
Passo 3
Verificação de invariância a deslocamentos no tempo: seja
. A saída correspondente é
Isso é exatamente
Portanto, deslocar a entrada em
desloca a saída em
sem alterar a forma, e o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Verificação de causalidade: o sistema produz
usando apenas
,
e
, ou seja, valores presentes e passados da entrada. Não há dependência de
com
. Logo o sistema é causal.
Resposta
O sistema é
não linear, invariante no tempo e causal.
não linear, invariante no tempo e causal.