Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[n]=x[n]+3 x[n-1] x[n-2]

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema discreto dado por
y[n]=x[n]+3\,x[n-1]\,x[n-2]
quanto a três propriedades: linearidade, invariância a deslocamentos no tempo e causalidade. Vamos usar os conceitos de superposição para linearidade, de deslocamento de entrada para invariância e verificar se a saída em n depende de valores futuros de x para causalidade.

Passo 2

Verificação de linearidade: um sistema é linear se satisfaz o princípio da superposição, ou seja, para duas entradas x_1[n] e x_2[n] e escalares a,b tivermos
S\{a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\} = a\,S\{x_1[n]\}+b\,S\{x_2[n]\}.
Aqui, denotando por y_i[n] a saída correspondente a x_i[n], temos
S\{a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\} = \bigl(a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\bigr) +3\bigl(a\,x_1[n-1]+b\,x_2[n-1]\bigr)\bigl(a\,x_1[n-2]+b\,x_2[n-2]\bigr).
Ao expandir o produto aparece o termo cruzado
3\,a\,b\,x_1[n-1]\,x_2[n-2]+3\,a\,b\,x_2[n-1]\,x_1[n-2]
que não aparece em
a\,y_1[n]+b\,y_2[n] = a\bigl(x_1[n]+3x_1[n-1]x_1[n-2]\bigr) + b\bigl(x_2[n]+3x_2[n-1]x_2[n-2]\bigr).
Logo o princípio da superposição falha e o sistema é não linear.

Passo 3

Verificação de invariância a deslocamentos no tempo: seja x'[n]=x[n-n_0]. A saída correspondente é
y'[n] = x'[n]+3\,x'[n-1]\,x'[n-2] = x[n-n_0]+3\,x[n-n_0-1]\,x[n-n_0-2].
Isso é exatamente
y[n-n_0] = x[n-n_0]+3\,x[n-n_0-1]\,x[n-n_0-2].
Portanto, deslocar a entrada em n_0 desloca a saída em n_0 sem alterar a forma, e o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Verificação de causalidade: o sistema produz y[n] usando apenas x[n], x[n-1] e x[n-2], ou seja, valores presentes e passados da entrada. Não há dependência de x[k] com k>n. Logo o sistema é causal.

Resposta

O sistema é
não linear, invariante no tempo e causal.

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