Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[n]=x[n]+3 x[n-1]

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema discreto
y[n] = x[n] + 3\,x[n-1]
e nos pede para classificá-lo quanto a:
  1. linearidade;
  2. invariância no tempo;
  3. causalidade.
    Para isso, vamos usar os conceitos:
  • Um sistema é linear se satisfaz superposição (adição e homogeneidade).
  • É invariante no tempo se um atraso na entrada provoca o mesmo atraso na saída.
  • É causal se a saída em n depende apenas de x[k] com k\le n.

Passo 2

Testando a linearidade: sejam duas entradas x_1[n] e x_2[n] com saídas correspondentes
y_1[n] = x_1[n] + 3\,x_1[n-1], \quad y_2[n] = x_2[n] + 3\,x_2[n-1].
Para uma combinação linear a\,x_1[n] + b\,x_2[n], o sistema produz
T\{\,a\,x_1[n] + b\,x_2[n]\} = \bigl(a\,x_1[n] + b\,x_2[n]\bigr) +3\bigl(a\,x_1[n-1] + b\,x_2[n-1]\bigr) = a\,y_1[n] + b\,y_2[n].
Logo, satisfaz superposição e homogeneidade, sendo linear.

Passo 3

Testando a invariância no tempo: defina x'[n]=x[n-n_0]. A saída associada é
y'[n] = x'[n] + 3\,x'[n-1] = x[n-n_0] + 3\,x[n-1-n_0].
Por outro lado, atrasar a saída original em n_0
y[n-n_0] = x[n-n_0] + 3\,x[n-1-n_0],
que coincide com y'[n]. Portanto, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Testando a causalidade: para cada instante n, y[n] depende de x[n] e de x[n-1]. Não há dependência de valores x[k] com k>n, ou seja, nenhum valor futuro. Assim, o sistema é causal.

Resposta

O sistema é linear, invariante no tempo e causal.

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